Klein–Gordon 場への適用

場の量子論入門　第1部 第3章 §1.3.5　★★★ 参照実装：以後すべての計算の雛形になる

実スカラー場に対する、もっとも簡単な Lorentz 不変で局所的なラグランジアンは

$$\mathcal{L}=\frac12\,\partial_{\mu}\phi\,\partial^{\mu}\phi-\frac12m^2\phi^2 =\frac12\Bigl[\dot\phi^2-(\nabla\phi)^2-m^2\phi^2\Bigr]\tag{1.3.5}$$

である。第1項が運動項、第2項が質量項である。（$\phi^4$ のような高次の項を足すことはできるが、それは相互作用であり第3部で扱う。自由場としてはこれが最小の選択である。）

Euler–Lagrange 方程式を計算する。$\partial_{\mu}\phi$ による偏微分は

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\partial^{\mu}\phi,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-m^2\phi$$

である（第1項の微分で $1/2$ が2倍されて消えることに注意）。(1.3.2) に入れると

$$\partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi+m^2\phi=(\Box+m^2)\phi=0\tag{1.3.6}$$

となり、Klein–Gordon 方程式が得られる（この符号込みの結果は検算スクリプトで確認済みである）。質量項の係数を $-\frac12m^2\phi^2$ と選んだのは、まさにこの $+m^2\phi$ を出すためである。

共役運動量とエネルギー密度も計算しておく。(1.3.5) から

$$\pi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi}=\dot\phi$$

であり、(1.3.4) に代入すると

$$\mathcal{H}=\pi\dot\phi-\mathcal{L}=\dot\phi^2-\frac12\bigl[\dot\phi^2-(\nabla\phi)^2-m^2\phi^2\bigr] =\frac12\Bigl[\dot\phi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\Bigr]\tag{1.3.7}$$

となる（同じく検算済み）。3つの項がすべて2乗の形で足し合わさっているので、$\mathcal{H}$ は正定値である。これは重要な性質で、Klein–Gordon 方程式を1粒子の波動方程式と読んだときに現れたエネルギーの下限の欠如が、場として読み直した瞬間に消えていることを意味する。負エネルギー解は消えたわけではなく、展開係数の読み替え（第2部 第5章）によって反粒子の生成として解釈され、エネルギーへの寄与は正になる。

3つの項の意味も読める。$\dot\phi^2$ は各点の振動の運動エネルギー、$(\nabla\phi)^2$ は隣り合う点どうしの結合エネルギー（連成振動子のバネにあたる）、$m^2\phi^2$ は各点を平衡位置に引き戻す復元力のエネルギーである。質量とは、場の各点に付いた「バネの固さ」だと読める。実際、質量ゼロの場では $\phi$ を一様にずらす操作にエネルギーが要らないが、$m\ne0$ では要る。