定理の主張と証明

場の量子論入門　第1部 第4章 §1.4.1　★★★ 手続き：変換を書き、$\mathcal{L}$ の変化を全微分の形に整理し、カレントを読む

古典場の力学に、もう1つの構造を入れる。対称性である。質点系でも「並進対称性から運動量保存」「回転対称性から角運動量保存」が出たが、場の理論ではこの対応がさらに強力になる。エネルギー・運動量・電荷といった観測量の定義そのものが、対称性から与えられるからである。本章の結果は第2部以降で繰り返し使う。

証明を書く。無限小パラメータ $\epsilon$ による場の変換を

$$\phi(x)\ \longrightarrow\ \phi(x)+\epsilon\,\Delta\phi(x)$$

と書く。$\Delta\phi$ は $\phi$ とその微分でできた何らかの式である。この変換が対称性であるとは、$\mathcal{L}$ の変化が高々全微分の形

$$\mathcal{L}\ \longrightarrow\ \mathcal{L}+\epsilon\,\partial_{\mu} J^\mu\tag{1.4.1}$$

に収まることをいう。全微分まで許すのは、第3.3節の補足のとおり全微分を足しても作用の停留条件が変わらないからである。$J^\mu=0$ の場合（$\mathcal{L}$ そのものが不変）が典型で、$J^\mu\ne0$ になるのは時空並進のように $\mathcal{L}$ 自身も動く場合である。

一方、同じ変換のもとで $\mathcal{L}$ の変化を素直に展開すると

$$\epsilon\,\delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\epsilon\Delta\phi +\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\,\epsilon\,\partial_{\mu}(\Delta\phi)$$

である。第2項を積の微分公式で分解すると

$$\epsilon\,\delta\mathcal{L}=\epsilon\,\partial_{\mu}\Bigl[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\Delta\phi\Bigr] +\epsilon\Bigl[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} -\partial_{\mu}\Bigl(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\Bigr)\Bigr]\Delta\phi$$

となる。第2項の角括弧は Euler–Lagrange 方程式そのものなので、場が運動方程式を満たしているときにゼロになる。したがって運動方程式の上では

$$\epsilon\,\delta\mathcal{L}=\epsilon\,\partial_{\mu}\Bigl[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\Delta\phi\Bigr].$$

これを (1.4.1) と比べると、

$$\boxed{\ j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\,\Delta\phi-J^\mu, \qquad \partial_{\mu} j^\mu=0\ }\tag{1.4.2}$$

が得られる。場が複数あるときは第1項を全部の場について足す。

保存電荷の定義に進む。$\partial_{\mu} j^\mu=\partial_t j^0+\nabla\cdot\bm{j}=0$ を空間全体で積分すると

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\int\mathrm{d}^3x\,j^0=-\int\mathrm{d}^3x\,\nabla\cdot\bm{j} =-\oint_{S_\infty}\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0$$

となる。最後の等号は、無限遠で場が十分速く落ちる（あるいは境界条件が周期的である）ことを使った。したがって $Q=\int\mathrm{d}^3x\,j^0$ は保存量である。$\partial_{\mu} j^\mu=0$ は $Q$ の保存より強い主張で、電荷が瞬間移動せず、連続的に流れて移動することまで述べている（局所的な保存則）。