時空並進とエネルギー運動量テンソル

場の量子論入門　第1部 第4章 §1.4.2　★★★ 適用1：エネルギーと運動量の定義そのものが並進対称性から出る

時空並進 $x^\mu\to x^\mu-a^\mu$（$a^\mu$ は無限小の定数ベクトル）を考える。場を新しい座標の関数として書き直すと

$$\phi(x)\ \longrightarrow\ \phi(x+a)=\phi(x)+a^\nu\partial_{\nu}\phi(x)+\mathcal{O}(a^2)$$

となる。$a^\mu$ の4成分それぞれが独立なパラメータなので、$\nu$ でラベルされた4つの変換があると読み、$\Delta_\nu\phi=\partial_{\nu}\phi$ とする。

$\mathcal{L}$ 自身も $x$ の関数として同じように動く。$\mathcal{L}$ が $x$ に陽に依存しない（場を通してのみ $x$ に依存する）なら

$$\mathcal{L}\ \longrightarrow\ \mathcal{L}+a^\nu\partial_{\nu}\mathcal{L}=\mathcal{L}+a^\nu\partial_{\mu}(\delta^\mu_{\ \nu}\mathcal{L})$$

なので、(1.4.1) と比べて $J^\mu_{\ \nu}=\delta^\mu_{\ \nu}\mathcal{L}$ である。(1.4.2) に代入すると、4本のカレント

$$T^\mu_{\ \nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\,\partial_{\nu}\phi-\delta^\mu_{\ \nu}\mathcal{L}$$

が得られる。添字を上げて

$$\boxed{\ T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\,\partial^{\nu}\phi-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}, \qquad \partial_{\mu} T^{\mu\nu}=0\ }\tag{1.4.4}$$

とする。これをエネルギー運動量テンソルと呼ぶ。対応する4つの保存量は

$$P^\nu=\int\mathrm{d}^3x\,T^{0\nu}$$

である。

成分の意味を確かめる。$\nu=0$ とすると

$$T^{00}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi}\,\dot\phi-\mathcal{L}=\pi\dot\phi-\mathcal{L}=\mathcal{H}$$

となり、第3.4節で定義した Hamiltonian 密度に一致する。つまりエネルギーとは、時間並進対称性に対応する Noether 電荷である。$\nu=i$（空間成分）では $\eta^{0i}=0$ なので

$$T^{0i}=\pi\,\partial^{i}\phi=-\pi\,\partial_{i}\phi \quad\Longrightarrow\quad \bm{P}=-\int\mathrm{d}^3x\ \pi\,\nabla\phi$$

となり、これが場の運ぶ運動量である。空間並進対称性から運動量が出るという、質点系と同じ構造が保たれている。

Klein–Gordon 場に適用すると、$\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_{\mu}\phi)=\partial^{\mu}\phi$ なので

$$T^{\mu\nu}=\partial^{\mu}\phi\,\partial^{\nu}\phi-\eta^{\mu\nu}\Bigl[\frac12\partial_{\rho}\phi\,\partial^{\rho}\phi-\frac12m^2\phi^2\Bigr]$$

となる。$00$ 成分は (1.3.7) と一致し、$\partial_{\mu} T^{\mu0}=0$ が運動方程式の上で成り立つことは検算スクリプトで確認済みである。この $T^{\mu\nu}$ は対称（$T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$）でもあるが、スカラー場だから対称になったのであって、一般には成り立たない（前節の補足を見よ）。