内部 U(1) 対称性と電荷

場の量子論入門　第1部 第4章 §1.4.3　★★★ 適用2：Klein–Gordon の「負確率」の正体は電荷である

次は時空を動かさない対称性（内部対称性）を扱う。複素スカラー場のラグランジアン

$$\mathcal{L}=\partial_{\mu}\phi^*\,\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^*\phi\tag{1.4.6}$$

を考える。第3.3節の補足で述べたとおり $\phi$ と $\phi^*$ を独立な変数として扱う。係数に $\frac12$ が付かないのは、実場2つ分をまとめているためである（$\phi=(\phi_1+\mathrm{i}\phi_2)/\sqrt2$ と書けば、(1.4.6) は $\phi_1,\phi_2$ それぞれの (1.3.5) の和になる）。

このラグランジアンは、位相の一斉回転

$$\phi\ \longrightarrow\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\phi,\qquad \phi^*\ \longrightarrow\ \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\alpha}\phi^*$$

のもとで不変である（$\phi^*\phi$ も $\partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi$ も位相が打ち消し合う）。$\alpha$ は時空によらない定数で、このような対称性を大域的 U(1) 対称性と呼ぶ。無限小では $\Delta\phi=-\mathrm{i}\phi$、$\Delta\phi^*=+\mathrm{i}\phi^*$ であり、$\mathcal{L}$ は変化しないので $J^\mu=0$ である。

(1.4.2) を、$\phi$ と $\phi^*$ の両方について足して適用する。

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\partial^{\mu}\phi^*,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi^*)}=\partial^{\mu}\phi$$

なので

$$j^\mu=\partial^{\mu}\phi^*\cdot(-\mathrm{i}\phi)+\partial^{\mu}\phi\cdot(+\mathrm{i}\phi^*)$$

となり、整理すると

$$\boxed{\ j^\mu=\mathrm{i}\bigl(\phi^*\,\partial^{\mu}\phi-\phi\,\partial^{\mu}\phi^*\bigr),\qquad \partial_{\mu} j^\mu=0\ }\tag{1.4.7}$$

が得られる（保存は運動方程式の上で成り立ち、検算スクリプトで確認済みである）。時間成分は

$$j^0=\mathrm{i}\bigl(\phi^*\dot\phi-\phi\dot\phi^*\bigr)$$

で、これは第1.3節で「確率密度と読めない」と述べた Klein–Gordon の $\rho$ にほかならない。場の理論では、これは確率密度ではなく電荷密度である。電荷は正にも負にもなってよいので、符号が変わることは何の問題も起こさない。量子化すると $Q=\int\mathrm{d}^3x\,j^0$ の固有値は「粒子の個数 $-$ 反粒子の個数」に比例する整数になる（第2部 第5章）。

実スカラー場では $\phi^*=\phi$ なので (1.4.7) は恒等的にゼロである。つまり実場は電荷を持たない。$\pi^0$ や Higgs ボソンのような中性のスピン0粒子は実場で、$\pi^\pm$ のような荷電粒子は複素場で記述する。場が実か複素かという形式的な違いが、粒子が中性か荷電かという物理的な区別に対応している。

同じ対称性は、実場2つの言葉でも書ける。$\phi=(\phi_1+\mathrm{i}\phi_2)/\sqrt2$ と置くと (1.4.6) は$\frac12\sum_{a=1,2}[\partial_{\mu}\phi_a\partial^{\mu}\phi_a-m^2\phi_a^2]$ になり、位相回転は平面 $(\phi_1,\phi_2)$ の2次元回転に対応する。$\mathcal{L}$ が $\phi_1^2+\phi_2^2$ の形でしか2つの場を含まないので回転で不変になるわけで、2次元回転群 $SO(2)$ と位相の群 $U(1)$ が同じ群であることの反映である。ここで、回転対称性が成り立つには2つの場の質量が等しいことが要る点に注意したい。「粒子と反粒子の質量が等しい」ことと「電荷が保存する」ことは、同じ対称性の2つの顔である。