量子力学での対称性と保存量との対応

場の量子論入門　第1部 第4章 §1.4.4　★★ 接続：既習の「$\left[H,\,G\right]=0$ なら $G$ は保存」との関係

『量子力学入門』第2部 第2章では、量子力学における対称性を「ユニタリ演算子 $U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon G}$ が Hamiltonian と交換する」こととして扱った。このとき Heisenberg 方程式 $\mathrm{d} G/\mathrm{d} t=\mathrm{i}\left[H,\,G\right]$ からただちに $G$ が保存する。生成子 $G$ が保存量そのものであり、並進なら運動量、回転なら角運動量である。

場の理論の Noether の定理は、これの古典版であり、かつ拡張版でもある。古典版というのは、本章の議論が交換子を使わず変分だけで進んだからで、量子化する前の段階で保存則が確立していることを意味する。拡張版というのは、量子化したあとに Noether 電荷 $Q$ がまさにその対称変換の生成子になることが示せるからである。すなわち、$\phi$ と $\pi$ に正準交換関係を課すと $\left[Q,\,\phi(x)\right]=-\mathrm{i}\Delta\phi(x)$ が成り立ち、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\epsilon Q}\phi\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon Q}=\phi+\epsilon\Delta\phi$ となる（確認は第2部 第5章）。古典的な対称変換の生成子と、量子論での保存量が、同じ $Q$ という1つの量に統合される。時間並進の生成子は Hamiltonian $H=P^0$、空間並進の生成子は運動量 $\bm{P}$、回転の生成子は角運動量、内部 U(1) の生成子は電荷 $Q$ である。質点系の量子力学では並進と回転しか使えなかったが、場の理論では内部空間の対称性という新しい種類が加わり、それが電荷という観測量を定義する。この延長線上に、局所的な（時空点ごとに独立な）位相変換を要請するゲージ原理があり、そこから電磁場そのものが導かれる（第5部 第1章）。