場のカタログ

場の量子論入門　第1部 第5章 §1.5.1　★★ 一覧：スカラー・Dirac・Maxwell と、その相互作用

ここまでスカラー場だけを扱ってきた。本章では、本書で登場する場を一覧にし、それぞれのラグランジアンと質量次元を確認する。質量次元の勘定は、見た目は単なる単位合わせだが、「4次元時空で書ける相互作用は有限種類しかない」という強い結論に直結する。

実スカラーと複素スカラーは第3章・第4章で扱った。残る2つを説明する。

Dirac 場は4成分のスピノル $\psi$ で、$\bar\psi =\psi^\dagger\gamma^0$ である。$\gamma^\mu$ は $\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}=2\eta^{\mu\nu}$ を満たす $4\times4$ 行列で、$\not\partial=\gamma^\mu\partial_{\mu}$ と略記する。$\bar\psi$ について Euler–Lagrange 方程式を作ると、$\mathcal{L}$ が $\partial_{\mu}\bar\psi$ を含まないので

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar\psi }=(\mathrm{i}\gamma^\mu\partial_{\mu}-m)\psi=0$$

とただちに Dirac 方程式が出る。詳細は第4部 第1章で扱う。

Maxwell 場はベクトル場 $A^\mu=(\phi_{\rm em},\bm{A})$ で、場の強さのテンソルを $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu} A_\nu-\partial_{\nu} A_\mu$ で定義する。$F^{0i}=-E^i$、$F^{ij}=-\epsilon^{ijk}B^k$ という対応があり、$-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac12(|\bm{E}|^2-|\bm{B}|^2)$ となる。Euler–Lagrange 方程式 $\partial_{\mu} F^{\mu\nu}=0$（源があれば $=j^\nu$）が Maxwell 方程式のうち源を含む2本で、残る2本は $F$ が $A$ の微分で書けているという定義から恒等式として従う。質量項 $\frac12m^2A_\mu A^\mu$ を書かないのは、それがゲージ不変性 $A_\mu\to A_\mu+\partial_{\mu}\chi$ を壊すからである（第5部 第1章）。

相互作用は、これらの場の積として作る。よく使うものを挙げる。湯川相互作用 $\mathcal{L}_{\rm Y}=-g\,\phi\,\bar\psi \psi$ はスカラー場とフェルミオンを結びつけ、核子間の力を中間子の交換として説明する模型に使う（第3部 第6章）。QED の相互作用 $\mathcal{L}_{\rm int}=-e\,\bar\psi \gamma^\mu\psi A_\mu$ は電子と光子を結びつけ、これが本書の主役になる（第5部）。$\phi^4$ 相互作用 $-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ は、現実の粒子との対応より計算技術を学ぶための模型として使う（第3部）。