質量次元

(1) $D$ 次元では $[\mathrm{d}^Dx]=-D$ なので $[\mathcal{L}]=D$ である。運動項から $2+2[\phi]=D$、すなわち $[\phi]=(D-2)/2$。$D=4$ で $[\phi]=1$ となり、本文の結果に一致する。$D=2$ ではスカラー場が無次元になり、$D=6$ では $2$ になる。

(2) $[\lambda]+4[\phi]=D$ から $[\lambda]=D-4\cdot\frac{D-2}{2}=4-D$。$D=4$ で $[\lambda]=0$、$D<4$ で正、$D>4$ で負である。次元が負の結合定数を持つ理論は、高いエネルギーで無次元の組み合わせ $\lambda E^{|[\lambda]|}$ が大きくなって摂動が破れる（次節）。$D=4$ はちょうど境目にあたる特別な次元である。

(3) 交換関係から直接読める。$[\delta^3(\bm{p}-\bm{q})]=-3$（デルタ関数はその引数の次元の逆）なので$2[ a_{\bm{p}}]=-3$、すなわち $[ a_{\bm{p}}]=-3/2$ である。場の展開 $\phi(x)=\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\,\frac{1}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}}( a_{\bm{p}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}+ a^\dagger_{\bm{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x})$ でも、$[\mathrm{d}^3p]=3$、$[1/\sqrt{2 E_{\bm{p}}}]=-1/2$ から $1=3-\frac12+[ a_{\bm{p}}]$ となって同じ答えを与える。規格化の約束（第2部で使う $| p \rangle =\sqrt{2 E_{\bm{p}}}\, a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle$ など）が整合しているかは、この次元勘定で手早く点検できる。