くりこみ可能性の予告

(1) $[\psi]=3/2$ なので $[(\bar\psi \psi)^2]=4\times\frac32=6$ である。$[\mathcal{L}]=4$ に合わせるには $[G_F]=4-6=-2$ が要る。

(2) 無次元の組み合わせは $G_FE^2$ である。これが $1$ の程度になると摂動が破れるので

$$\Lambda\sim\frac{1}{\sqrt{G_F}}=\frac{1}{\sqrt{1.17\times10^{-5}\,\mathrm{GeV}^{-2}}}\simeq2.9\times10^2\,\mathrm{GeV}.$$

すなわち数百 GeV である。次元が負の結合定数は、「この理論はこのエネルギーまでしか使えない」という情報を係数自身が持っている。

(3) 与えられた関係を $g$ について解くと

$$g^2=\frac{8M_W^2G_F}{\sqrt2} =\frac{8\times(80.4)^2\times1.17\times10^{-5}}{1.414}\simeq0.426, \qquad g\simeq0.65 .$$

（この値 $g=0.653$ は検算スクリプトで確認済みである。）$g$ は無次元で、しかも $1$ より小さいので摂動が使える。$G_F$ の次元 $-2$ は $1/M_W^2$ から来ていたのであり、接触相互作用に見えていたものは、$E\ll M_W$ で $W$ の伝播関数$1/(q^2-M_W^2)\to-1/M_W^2$ が定数に潰れた姿だった。(2) で見積もった数百 GeV というスケールが $M_W$ のオーダーになっているのは偶然ではない。低エネルギーの有効理論が、自分の適用限界に「新しい粒子がいる」ことを教えている。この論法を一般化したものが有効場の理論で、第6部 第6章で扱う。

$[\phi]=1$、$[\partial_{\mu}]=1$ なので、$\phi$ を $n$ 個と微分を $k$ 個含む項の次元は $n+k$ である。Lorentz 不変にするには微分の添字がペアで潰れていなければならず、$k$ は偶数である。$n+k\le4$ を満たす組み合わせを列挙する。

$k=0$ のとき $\phi,\ \phi^2,\ \phi^3,\ \phi^4$（次元 $1,2,3,4$）の4つ。

$k=2$ のとき $n\le2$ である。$n=1$ では $\Box\phi$（次元 $3$）だが、これは全微分なので運動方程式に寄与せず落とせる。$n=2$ では $\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi$ と $\phi\Box\phi$（ともに次元 $4$）があるが、$\phi\Box\phi=\partial_{\mu}(\phi\partial^{\mu}\phi)-\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi$ なので、全微分を除けば互いに符号違いであり独立でない。したがって $\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi$ の1つを取る。

$k=4$ のとき $n=0$ となり、場を含まない定数だけなので物理に影響しない。

以上をまとめると、独立な項は

$$\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi,\quad \phi,\quad \phi^2,\quad \phi^3,\quad \phi^4$$

の5つである。$\phi$ の1次項は場の原点をずらす（$\phi\to\phi+{\rm const}$）ことで消せ、$\phi^3$ は $\phi\to-\phi$ という対称性を課せば禁止できる。残るのが $\frac12\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$、すなわち $\phi^4$ 理論である。「実スカラー場1つで書ける、4次元でくりこみ可能な、$\phi\to-\phi$ 対称な理論」は本質的にこれ1つしかない。場の量子論の教科書が $\phi^4$ 理論を最初の例に選ぶのは、それが最も単純だからというより、選択肢がほとんど無いからである。