正準交換関係を要請する

場の量子論入門　第2部 第1章 §2.1.1　★★★ 量子化の出発点。$\delta^3$ が出る理由まで含めて理解する。

第1部では、実スカラー場の古典論を組み立てた。Lagrangian 密度

$$\mathcal{L}=\frac12(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi)-\frac12 m^2\phi^2 =\frac12\dot\phi^2-\frac12(\nabla\phi)^2-\frac12m^2\phi^2$$

から Euler–Lagrange 方程式として Klein–Gordon 方程式 $(\Box+m^2)\phi=0$ が出て、$\phi$ に共役な運動量密度は

$$\pi(x)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi}=\dot\phi(x), \qquad H=\int\!\mathrm{d}^3x\ \mathcal{H} =\int\!\mathrm{d}^3x\ \frac12\Bigl[\pi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\Bigr]$$

であった。本章では、この古典系を量子力学の作法どおりに量子化する。やることは解析力学の教科書に書いてある通りで、正準変数の組 $(\phi,\pi)$ に交換関係を課すだけである。そこから「粒子」という言葉が自動的に出てくるところが、この章の眼目になる。

有限自由度の量子力学では、正準変数 $q_i$ と共役運動量 $p_j$ に$\left[\hat q_i,\,\hat p_j\right]=\mathrm{i}\delta_{ij}$、$\left[\hat q_i,\,\hat q_j\right]=\left[\hat p_i,\,\hat p_j\right]=0$を課した。場の理論では、自由度のラベル $i$ が連続変数 $\bm{x}$（空間の各点）に置き換わる。そこで対応する要請は、同時刻での交換関係

$$\left[\phi(\bm{x}),\,\pi(\bm{y})\right]=\mathrm{i}\,\delta^3(\bm{x}-\bm{y}), \qquad \left[\phi(\bm{x}),\,\phi(\bm{y})\right]=\left[\pi(\bm{x}),\,\pi(\bm{y})\right]=0\tag{2.1.1}$$

となる。ここで $\phi$ と $\pi$ は演算子であり、$\bm{x}$ は演算子ではなく単なるラベル（どの自由度の話かを指定する添字）である点に注意する。量子力学で $\hat x$ が演算子だったのとは役割がまったく違う。

なぜ Kronecker のデルタでなく Dirac のデルタになるのか

$\delta_{ij}$ が $\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$ に化ける理由は、連続極限の取り方を追えば分かる。空間を一辺 $\ell$ の立方体セルに区切り、セルの体積を $\Delta V=\ell^3$、$n$ 番目のセルの中心を $\bm{x}_n$ と書く。各セルの中の場の値を1つの自由度とみなして

$$q_n\equiv\phi(\bm{x}_n), \qquad p_n\equiv\Delta V\,\pi(\bm{x}_n)$$

と定める。$p_n$ に体積を掛けたのは、離散系の Lagrangian $L=\sum_n\Delta V\,\mathcal{L}(\bm{x}_n)$ を $\dot q_n$ で微分すると$p_n=\partial L/\partial\dot q_n=\Delta V\,\pi(\bm{x}_n)$ となるからで、恣意的な操作ではない。この $(q_n,p_n)$ に通常の量子化 $\left[q_n,\,p_m\right]=\mathrm{i}\delta_{nm}$ を課すと

$$\left[\phi(\bm{x}_n),\,\pi(\bm{x}_m)\right]=\mathrm{i}\,\frac{\delta_{nm}}{\Delta V}.$$

右辺の $\delta_{nm}/\Delta V$ は、$n=m$ のセルで $1/\Delta V$、他でゼロという量であり、セル全体で体積積分すると $1$ になる。$\ell\to0$ でこれが Dirac の $\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$ になる。式(2.1.1) の $\delta^3$ は、このように「単位体積あたり」という次元を背負っているのである。

式(2.1.1) は同じ時刻の2点についての要請なので、時間と空間を対等に扱っておらず、Lorentz 不変性が見た目には壊れている。しかし第4章で計算するように、任意の2点の交換子$\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]$ は Lorentz 不変な形にまとまり、空間的分離では厳密にゼロになる。正準形式は時間を特別扱いする代わりに量子化の手続きが明快で、不変性は結果として回復する、という分業になっている（時間と空間を最初から対等に扱う定式化が経路積分で、第7部 第2章で扱う）。