Fourier 展開で独立な振動子に分解する

場の量子論入門　第2部 第1章 §2.1.2　★★★ 場が無限個の調和振動子であることを見る。粒子概念の源。

式(2.1.1) だけでは何も計算できない。次に、運動方程式を解いて $\phi$ の一般形を書き下す。鍵は、Klein–Gordon 方程式が空間 Fourier 変換で各波数ごとに分離することである。

$\phi(\bm{x},t)$ を空間について Fourier 変換し

$$\phi(\bm{x},t)=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}\,\tilde\phi(\bm{p},t)$$

と書いて $(\partial_t^2-\nabla^2+m^2)\phi=0$ に代入すると、$\nabla^2\to-\bm{p}^2$ より

$$\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\bigl(\bm{p}^2+m^2\bigr)\right]\tilde\phi(\bm{p},t)=0.\tag{2.1.2}$$

これは角振動数

$$E_{\bm{p}}\equiv\sqrt{\bm{p}^2+m^2}$$

の調和振動子の運動方程式そのものである。異なる $\bm{p}$ どうしは結合していない。つまり、実空間では隣接点どうしが $(\nabla\phi)^2$ の項で結合していた系が、運動量空間では独立な振動子の集まりに分解された。

$E_{\bm{p}}$ は、$\bm{p}$ を運動量とみなしたときの相対論的エネルギー $\sqrt{\bm{p}^2c^2+m^2c^4}$（自然単位で $\sqrt{\bm{p}^2+m^2}$）に一致している。この一致が後で「モードの励起量子＝質量 $m$ の相対論的粒子」という解釈を可能にする。なお $m=0$ なら $E_{\bm{p}}=|\bm{p}|$ となり、光子のような質量ゼロの分散関係になる。

生成消滅演算子で書く

調和振動子1個なら、$\hat q,\hat p$ を昇降演算子 $a,a^\dagger$ で書き直すのが定石であった。場でも同じことをする。各モードに $a_{\bm{p}}, a^\dagger_{\bm{p}}$ を割り当て、

$$\begin{align*}\phi(\bm{x})&=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}} \Bigl( a_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}+ a^\dagger_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}\Bigr),\tag{2.1.3}\\[2pt] \pi(\bm{x})&=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ (-\mathrm{i})\sqrt{\frac{ E_{\bm{p}}}{2}} \Bigl( a_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}- a^\dagger_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}\Bigr)\tag{2.1.4}\end{align*}$$

と置く。ここでの $\phi(\bm{x}),\pi(\bm{x})$ は Schrödinger 描像の演算子（ある固定時刻での値）で、指数の肩の $\bm{p}\cdot\bm{x}$ は3次元の内積である。この形について確認すべき点が3つある。

第1に、$\phi$ が Hermite 演算子（$\phi^\dagger=\phi$）であることが式(2.1.3) から読み取れる。$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}$ の係数が $a_{\bm{p}}$ なら、Hermite 共役を取ると$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}$ の係数は $a^\dagger_{\bm{p}}$ でなければならない。実場である以上、この2つは独立に選べない。第5章で複素場を扱うときは、まさにこの縛りが外れて独立な2種類の演算子が現れる。

第2に、係数 $1/\sqrt{2 E_{\bm{p}}}$ の由来である。1モードの調和振動子では$\hat q=(a+a^\dagger)/\sqrt{2\omega}$、$\hat p=-\mathrm{i}\sqrt{\omega/2}(a-a^\dagger)$ であった（質量 $1$ の振動子。式(2.1.2) の各モードはまさにこれ）。式(2.1.3)(2.1.4) はこれを各 $\bm{p}$ について並べたものにほかならない。$\omega\to E_{\bm{p}}$ と読み替えるだけである。

第3に、この規格化には流儀がある。本書は Peskin の流儀を採り、$1/\sqrt{2 E_{\bm{p}}}$ を場の展開に、$(2\pi)^3$ を交換関係に置く。他書と係数を比べるときは、$a$ の規格化を最初に確認する必要がある。

Heisenberg 描像での形

時間依存性を演算子側に持たせる Heisenberg 描像では、後述の例題 1.2 で示すとおり$a_{\bm{p}}(t)= a_{\bm{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}$ となる。これを式(2.1.3) に入れると、4元運動量 $p^\mu=( E_{\bm{p}},\bm{p})$ と4元内積 $p\cdot x= E_{\bm{p}} t-\bm{p}\cdot\bm{x}$ を使って

$$\phi(x)=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}} \Bigl( a_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}+ a^\dagger_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}\Bigr) \Bigg|_{p^0= E_{\bm{p}}}\tag{2.1.5}$$

と書ける。以後、引数が4元ベクトル $x$ なら Heisenberg 描像、3元ベクトル $\bm{x}$ ならSchrödinger 描像（または $t=0$）という約束にする。式(2.1.5) の$\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}$ を正振動数解、$\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}$ を負振動数解と呼ぶ。1粒子の相対論的量子力学では負振動数解が「負エネルギー状態」という病を生んだが、場の理論ではそれが $a^\dagger_{\bm{p}}$（粒子を作る演算子）の係数になっているだけで、何も病的ではない。この点は第5章で複素場を扱うときに完全に決着する。