相対論的規格化

場の量子論入門　第2部 第2章 §2.2.2　★★★ $| p \rangle =\sqrt{2 E_{\bm{p}}} a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle$ を採る理由。不変測度とセット。

素朴には $a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle$ をそのまま1粒子状態とすればよさそうだが、これは Lorentz 変換のもとで具合が悪い。理由は内積

$$\langle 0 | a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{q}} | 0 \rangle =(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$$

に現れる $\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ が Lorentz 不変ではないことにある。

何が不変で何が不変でないか

$z$ 方向のブーストを考える。速さ $\beta$、$\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ として

$$p^3{}'=\gamma\,(p^3-\beta E),\qquad E'=\gamma\,(E-\beta p^3).$$

$p^1,p^2$ は変わらない。$p^3$ で微分すると、質量殻上では $\mathrm{d} E/\mathrm{d} p^3=p^3/E$ だから

$$\frac{\mathrm{d} p^3{}'}{\mathrm{d} p^3}=\gamma\left(1-\beta\frac{p^3}{E}\right) =\frac{\gamma(E-\beta p^3)}{E}=\frac{E'}{E}.$$

したがって $\mathrm{d}^3p'/E'=\mathrm{d}^3p/E$、すなわち

$$\frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\tag{2.2.3}$$

が Lorentz 不変な運動量測度である。$1/(2\pi)^3$ と $1/2$ は不変性そのものには関係しない慣習的な因子だが、後で述べるようにまとめて置く理由がある。

測度 $\mathrm{d}^3p/E$ が不変ということは、恒等式$\int\mathrm{d}^3p\,\delta^3(\bm{p}-\bm{q})f(\bm{p})=f(\bm{q})$ を不変な形に書き直すと

$$\int\frac{\mathrm{d}^3p}{ E_{\bm{p}}}\Bigl[ E_{\bm{p}}\,\delta^3(\bm{p}-\bm{q})\Bigr]f(\bm{p})=f(\bm{q})$$

となるので、$E_{\bm{p}}\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ が不変量だということになる。$\delta^3$ 単体は不変でなく、$E_{\bm{p}}$ を掛けて初めて不変になる。

規格化の定義

そこで1粒子状態を

$$| p \rangle \equiv\sqrt{2 E_{\bm{p}}}\, a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle , \qquad \langle p | q \rangle =2 E_{\bm{p}}\,(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})\tag{2.2.4}$$

と定める。内積の右辺は上で見た不変量 $E_{\bm{p}}\delta^3$ の $2(2\pi)^3$ 倍だからLorentz 不変である。$2$ を入れたのは、測度(2.2.3) の $1/2 E_{\bm{p}}$ と組み合わせたときに完全性関係が余計な因子なしに書けるからである。実際、1粒子部分空間の恒等演算子は

$$\mathbb{1}_{1\text{粒子}}=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\ | p \rangle \langle p |\tag{2.2.5}$$

となる。確認は容易で、右辺を $| q \rangle$ に作用させると$\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}| p \rangle \,2 E_{\bm{p}}(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})=| q \rangle$ である。

規格化因子の出どころ

因子 $2 E_{\bm{p}}$ には、質量殻条件から自然に出るという別の見方がある。4次元運動量空間の積分を質量殻 $p^2=m^2$ かつ $p^0>0$ に制限すると

$$\int\!\frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4}\ (2\pi)\,\delta(p^2-m^2)\,\theta(p^0).$$

$\delta(p^2-m^2)=\delta\bigl((p^0)^2- E_{\bm{p}}^2\bigr) =\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\bigl[\delta(p^0- E_{\bm{p}})+\delta(p^0+ E_{\bm{p}})\bigr]$ であり、$\theta(p^0)$ が第2項を落とすから、これは

$$\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}$$

に等しい。$\frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4}$ も $\delta(p^2-m^2)$ も $\theta(p^0)$ も（真の Lorentz 変換では正エネルギーと負エネルギーが入れ替わらないので）不変なので、測度(2.2.3) の不変性がこの式から直ちに従う。$2 E_{\bm{p}}$ は、質量殻の $\delta$ 関数を $p^0$ で解いたときのヤコビアンだったのである。