真空と1粒子状態

場の量子論入門　第2部 第2章 §2.2.1　★★★ 真空の定義とエネルギー・運動量の固有値。

第1章で得た $H=\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\, E_{\bm{p}}\, a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+\text{(定数)}$ は、形式的には無限個の調和振動子のエネルギーの和である。本章では、この演算子代数が作る状態空間を調べ、「励起量子＝相対論的粒子」という読み替えが正当であることを確かめる。非相対論の第二量子化（『量子力学入門』第9部 第2章）を既に学んでいれば、ここでやることは形式的にはその繰り返しである。違いは、分散関係が$E_{\bm{p}}=\sqrt{\bm{p}^2+m^2}$ であること、場 $\phi$ が $a$ と $a^\dagger$ の両方を含むこと、そして規格化を Lorentz 不変にそろえる必要があることの3点に集約される。

真空 $| 0 \rangle$ を、すべてのモードの消滅演算子で消える状態として定義する：

$$a_{\bm{p}}| 0 \rangle =0\quad(\forall\bm{p}),\qquad \langle 0 | 0 \rangle =1.$$

これが $H$ の最低エネルギー状態である。実際 $a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}$ は非負の演算子だから、$\langle \psi | a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}} | \psi \rangle =\| a_{\bm{p}}| \psi \rangle \|^2\ge0$ であり、すべての $\bm{p}$ でゼロになるのは $a_{\bm{p}}| \psi \rangle =0$ のときに限る。

真空のエネルギーは式(2.1.8) の第2項、すなわち発散した定数 $E_0$ である。第3章で議論するように、重力を考えない限りエネルギーの絶対値には意味がないので、以後は $H$ から $E_0$ を差し引いた

$$H=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ E_{\bm{p}}\, a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}\tag{2.2.1}$$

を使う。この操作を正規順序化と呼び、第3章で定義する。

$a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle$ の性質を調べる。例題 1.2 で計算した $\left[H,\, a_{\bm{q}}\right]=-E_{\bm{q}} a_{\bm{q}}$ のHermite 共役から $\left[H,\, a^\dagger_{\bm{q}}\right]=+E_{\bm{q}} a^\dagger_{\bm{q}}$ であり、$H| 0 \rangle =0$ と合わせて

$$H\, a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle =\left[H,\, a^\dagger_{\bm{q}}\right]| 0 \rangle =E_{\bm{q}}\, a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle .$$

つまり $a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle$ はエネルギー $E_{\bm{q}}=\sqrt{\bm{q}^2+m^2}$ の固有状態である。

運動量についても同じことを見る。第1部 第4章の Noether の定理から、空間並進に対応する保存量は $P^i=-\int\mathrm{d}^3x\,T^{0i}=-\int\mathrm{d}^3x\ \pi\,\partial^i\phi$ である。展開を代入して第1章と同じ整理を行うと

$$\bm{P}=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \bm{p}\ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}\tag{2.2.2}$$

となる（零点項に相当する $\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\,\bm{p}\,\frac12(2\pi)^3\delta^3(0)$ は被積分関数が $\bm{p}$ の奇関数なので積分するとゼロになり、$H$ のときのような発散した定数は現れない）。したがって$\bm{P}\, a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle =\bm{q}\, a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle$ である。

エネルギー $\sqrt{\bm{q}^2+m^2}$、運動量 $\bm{q}$ を持ち、これらが$E^2-\bm{p}^2=m^2$ という相対論的な関係を満たす。この事実をもって、$a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle$ を「質量 $m$、運動量 $\bm{q}$ の粒子が1個ある状態」と読む。場の量子論において粒子とは、場のモードの励起量子のことである。