零点項に現れる発散の意味

まず $\left[H,\, a_{\bm{q}}\right]$ を計算する。$\delta^3(0)$ の項は c 数なので交換子には寄与しない。$\left[ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}},\, a_{\bm{q}}\right]= a^\dagger_{\bm{p}}\left[ a_{\bm{p}},\, a_{\bm{q}}\right]+\left[ a^\dagger_{\bm{p}},\, a_{\bm{q}}\right] a_{\bm{p}} =-(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})\, a_{\bm{p}}$ であるから

$$\left[H,\, a_{\bm{q}}\right]=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ E_{\bm{p}}\bigl(-(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})\bigr) a_{\bm{p}} =-E_{\bm{q}}\, a_{\bm{q}}.$$

Heisenberg 方程式 $\mathrm{i}\,\mathrm{d} a_{\bm{q}}/\mathrm{d} t=\left[ a_{\bm{q}},\,H\right]=E_{\bm{q}} a_{\bm{q}}$ より$a_{\bm{q}}(t)= a_{\bm{q}}(0)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{q}}t}$。Hermite 共役を取れば$a^\dagger_{\bm{q}}(t)= a^\dagger_{\bm{q}}(0)\mathrm{e}^{+\mathrm{i} E_{\bm{q}}t}$ である。

これを式(2.1.3) に代入すると式(2.1.5) が得られる。各項は $\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i}( E_{\bm{p}} t-\bm{p}\cdot\bm{x})}$ の形だから、$\partial_t^2\to- E_{\bm{p}}^2$、$\nabla^2\to-\bm{p}^2$ となり

$$(\partial_t^2-\nabla^2+m^2)\,\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i} p\cdot x} =(- E_{\bm{p}}^2+\bm{p}^2+m^2)\,\mathrm{e}^{\mp\mathrm{i} p\cdot x}=0.$$

$E_{\bm{p}}^2=\bm{p}^2+m^2$ を使った。すなわち、正準量子化した場の演算子は古典と同じ Klein–Gordon 方程式に従う。

(1) 周期境界条件のもとでの直交関係は$\int_V\mathrm{d}^3x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}-\bm{k}')\cdot\bm{x}}=V\delta_{\bm{k}\bm{k}'}$ である（連続版の $(2\pi)^3\delta^3$ が $V\delta_{\bm{k}\bm{k}'}$ に置き換わる）。本文の逆解き(2.1.6) を離散版で繰り返すと

$$a_{\bm{k}}=\frac{1}{\sqrt{V}\sqrt{2E_{\bm{k}}}}\int_V\!\mathrm{d}^3x\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}} \bigl(E_{\bm{k}}\phi+\mathrm{i}\pi\bigr)$$

となり、$\left[\phi,\,\pi\right]=\mathrm{i}\delta^3$ から$\left[a_{\bm{k}},\,a^\dagger_{\bm{k}'}\right]=\frac{E_{\bm{k}}+E_{\bm{k}'}}{2\sqrt{E_{\bm{k}}E_{\bm{k}'}}} \cdot\frac{V\delta_{\bm{k}\bm{k}'}}{V}=\delta_{\bm{k}\bm{k}'}$ を得る。$1/\sqrt V$ を展開に入れておいたのは、このように右辺を無次元のKronecker $\delta$ にそろえるためである。

(2) 同じ計算を $H$ について行うと$H=\sum_{\bm{k}}E_{\bm{k}}\bigl(a^\dagger_{\bm{k}}a_{\bm{k}}+\tfrac12\bigr)$ となる。零点エネルギーは $E_0=\frac12\sum_{\bm{k}}E_{\bm{k}}$ であり、各モードがちょうど $\hbar\omega/2$ を持つという調和振動子の常識どおりである。$L\to\infty$ では、モードの間隔が $2\pi/L$ なので$\sum_{\bm{k}}\to V\int\frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^3}$ と置き換わり

$$E_0=\frac{V}{2}\int\!\frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^3}\ E_{\bm{k}}$$

となって、本文の $\frac12(2\pi)^3\delta^3(0)\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} E_{\bm{p}}$ と一致する。比較すると $(2\pi)^3\delta^3(0)=V$、すなわち $\delta^3(0)=V/(2\pi)^3$ である。無限大の正体が体積であることが、離散化すればはっきり見える。