ハミルトニアンを対角化する

場の量子論入門　第2部 第1章 §2.1.4　★★★ $H=\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} E_{\bm{p}}( a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+\cdots)$ を途中式込みで出す。

古典の $H=\frac12\int\mathrm{d}^3x\,[\pi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2]$ に展開を代入する。計算は3つの積分に分かれる。以下、空間積分は$\int\mathrm{d}^3x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{p}+\bm{q})\cdot\bm{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}+\bm{q})$ と$\int\mathrm{d}^3x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{p}-\bm{q})\cdot\bm{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ の2種類しか出てこない。前者は $\bm{q}=-\bm{p}$、後者は $\bm{q}=\bm{p}$ を課す。

$\pi^2$ の項.

式(2.1.4) の2つの因子の積を4項に分け、符号 $(-\mathrm{i})^2=-1$ を前に出すと

$$\int\!\mathrm{d}^3x\ \pi^2 =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{ E_{\bm{p}}}{2} \Bigl(- a_{\bm{p}} a_{\bm{(}-p)}+ a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{p}}+ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}- a^\dagger_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{(}-p)}\Bigr).$$

$a_{\bm{p}} a_{\bm{(}-p)}$ と $a^\dagger_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{(}-p)}$ の項は $\delta^3(\bm{p}+\bm{q})$ 由来、残りは $\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ 由来である。

$(\nabla\phi)^2$ の項.

$\nabla$ は $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}$ に $\pm\mathrm{i}\bm{p}$ を掛ける。したがって

$$\nabla\phi(\bm{x})=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{\mathrm{i}\bm{p}}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}} \Bigl( a_{\bm{p}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}- a^\dagger_{\bm{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{p}\cdot\bm{x}}\Bigr)$$

であり、内積を取って空間積分すると、$\delta^3(\bm{p}+\bm{q})$ の項では$(\mathrm{i}\bm{p})\cdot(-\mathrm{i}\bm{p})=\bm{p}^2$、$\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ の項でも$(\mathrm{i}\bm{p})\cdot(-\mathrm{i}\bm{p})=\bm{p}^2$ となって、4項すべてが同符号でそろう：

$$\int\!\mathrm{d}^3x\ (\nabla\phi)^2 =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{\bm{p}^2}{2 E_{\bm{p}}} \Bigl( a_{\bm{p}} a_{\bm{(}-p)}+ a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{p}}+ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+ a^\dagger_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{(}-p)}\Bigr).$$

$m^2\phi^2$ の項.

同じ手順で（$\nabla$ がない分だけ簡単に）

$$\int\!\mathrm{d}^3x\ m^2\phi^2 =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{m^2}{2 E_{\bm{p}}} \Bigl( a_{\bm{p}} a_{\bm{(}-p)}+ a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{p}}+ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+ a^\dagger_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{(}-p)}\Bigr).$$

後の2つを足すと、係数が $(\bm{p}^2+m^2)/(2 E_{\bm{p}})= E_{\bm{p}}^2/(2 E_{\bm{p}})= E_{\bm{p}}/2$ にまとまる。これは $E_{\bm{p}}$ の定義を使っただけだが、結果は劇的である。$\pi^2$ の項の $E_{\bm{p}}/2$ と係数が一致したので、$a_{\bm{p}} a_{\bm{(}-p)}$ と $a^\dagger_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{(}-p)}$ の項が符号違いできれいに相殺するのである。残るのは

$$H=\frac12\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{ E_{\bm{p}}}{2}\cdot2\Bigl( a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{p}}+ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}\Bigr) =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{ E_{\bm{p}}}{2}\Bigl( a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{p}}+ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}\Bigr).$$

最後に $a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{p}}= a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+(2\pi)^3\delta^3(0)$ を使って正規順序に直すと

$$H=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ E_{\bm{p}}\left( a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+\frac12(2\pi)^3\delta^3(0)\right).\tag{2.1.8}$$

相殺が起きたのは偶然ではない。$a_{\bm{p}} a_{\bm{(}-p)}$ のような項は、運動量 $\bm{p}$ と $-\bm{p}$ の粒子を同時に消す（あるいは作る）項であり、これが残っていれば真空が不安定になる。自由場ではこの項が消えるからこそ、$H$ は「各モードの励起数を数える」だけの形になり、真空と粒子という描像が成り立つ。相互作用を入れると同種の項が復活し、それが真空の非自明な構造（第6部 第3章）につながる。