多粒子状態と Bose 統計

場の量子論入門　第2部 第2章 §2.2.3　★★★ 統計が交換関係の帰結として出る。対称化を手で課さない。

$n$ 個の生成演算子を掛ければ $n$ 粒子状態が作れる：

$$| p_1\,p_2\cdots p_n \rangle =\sqrt{2E_{\bm{p}_1}}\cdots\sqrt{2E_{\bm{p}_n}}\ a^\dagger_{\bm{p}_1} a^\dagger_{\bm{p}_2}\cdots a^\dagger_{\bm{p}_n}| 0 \rangle .$$

エネルギーは $\sum_i E_{\bm{p}_i}$、運動量は $\sum_i\bm{p}_i$ である。すべての粒子数の状態を束ねた空間

$$\mathcal{F}=\mathcal{H}_0\oplus\mathcal{H}_1\oplus\mathcal{H}_2\oplus\cdots$$

を Fock 空間と呼ぶ（$\mathcal{H}_n$ は $n$ 粒子部分空間、$\mathcal{H}_0$ は真空だけの1次元空間）。

ここで決定的に重要なのは、式(2.1.7) の $\left[ a^\dagger_{\bm{p}},\, a^\dagger_{\bm{q}}\right]=0$ である。これは $a^\dagger_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{q}}| 0 \rangle = a^\dagger_{\bm{q}} a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle$、すなわち

$$| p\,q \rangle =| q\,p \rangle$$

を意味する。2つの粒子を入れ替えても状態が変わらない、つまり Bose 統計である。『量子力学入門』第9部 第1章では、同種ボゾンの波動関数の対称性は「対称化の要請」という追加の公理として手で課すものだった。ここでは正準交換関係(2.1.1) を出発点として計算しただけで、対称性が定理として出てくる。同時に、同種粒子が区別できない理由もはっきりする。すべての粒子は同一の場 $\phi$ の励起であって、個体としてのラベルを最初から持っていないからである。

反対称な統計（Fermi 統計）を得るには、交換子ではなく反交換子で量子化する必要がある。スカラー場でそれをやると（第1章の計算をなぞれば分かるように）ハミルトニアンが下に有界でなくなる。逆にスピン $1/2$ の場を交換子で量子化しても破綻する。この対応が スピン統計定理で、第4部 第3章で扱う。

粒子数演算子は

$$N=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}$$

であり、$N| p_1\cdots p_n \rangle =n| p_1\cdots p_n \rangle$ を満たす。自由場では $\left[N,\,H\right]=0$ であり、粒子数は保存する。これは $H$ が$a^\dagger a$ という「1個消して1個作る」形の項しか含まないからである。相互作用（たとえば $\phi^4$ 項）を入れると $a^\dagger a^\dagger a^\dagger a$ のような項が現れ、粒子数は保存しなくなる。粒子数が変わる過程を記述できることこそが、1粒子量子力学に対する場の量子論の本質的な利点であった。