場は粒子を作る演算子である

場の量子論入門　第2部 第2章 §2.2.4　★★★ $\phi(x)| 0 \rangle$ の意味。波動関数と場をつなぐ橋。

$\phi$ の展開(2.1.5) を真空に作用させると、$a_{\bm{p}}| 0 \rangle =0$ より$a^\dagger_{\bm{p}}$ の項だけが残る：

$$\phi(x)| 0 \rangle =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}\, a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}| p \rangle .$$

最後の等号では $a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle =| p \rangle /\sqrt{2 E_{\bm{p}}}$ を使った。すなわち $\phi(x)| 0 \rangle$ は、不変測度で重み付けした1粒子状態の重ね合わせである。この状態を1粒子状態に射影すると

$$\langle p | \phi(x) | 0 \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}\tag{2.2.6}$$

という単純な結果になる（$\langle p | q \rangle =2 E_{\bm{p}}(2\pi)^3\delta^3$ を使えば直ちに出る）。場の演算子の真空と1粒子状態の間の行列要素が平面波である、というのが式(2.2.6) の内容で、これが「1粒子量子力学の波動関数」と「場の演算子」をつなぐ橋になっている。より一般に、1粒子状態 $| \psi \rangle =\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}f(\bm{p})| p \rangle$ に対して

$$\langle 0 | \phi(x) | \psi \rangle =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\,f(\bm{p})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}$$

となり、右辺は $f$ を運動量表示の波動関数とする Klein–Gordon 方程式の解である。

非相対論の場の演算子 $\hat\psi^\dagger(\bm{r})$ は、位置 $\bm{r}$ に粒子をきっちり1個作る演算子で、$\{\hat\psi(\bm{r}),\hat\psi^\dagger(\bm{r}')\}=\delta^3(\bm{r}-\bm{r}')$ が示すように完全に局在した状態を生む。一方、相対論版の $\phi(x)| 0 \rangle$ は重み $1/(2 E_{\bm{p}})$ のせいで完全には局在せず、Compton 波長 $1/m$ 程度に広がる。これは技術的な不便ではなく物理的な内容を持っている。粒子を $1/m$ より狭い領域に押し込めようとすると不確定性関係から運動量が $m$ を超え、対生成が起きて「1粒子」という前提自体が崩れるからである。