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1次元の模型で計算する

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第2部 第3章 零点エネルギーと Casimir 効果

AI 生成・木下が未勉強

場の量子論入門　第2部 第3章 §2.3.3　★ ζ(−1)=−1/12\zeta(-1)=-1/12 で E(L)=−π/(24L)E(L)=-\pi/(24L) を出す。

本質を見るために、1次元の質量ゼロのスカラー場を長さ LL の区間に閉じ込め、両端で ϕ=0\phi=0（Dirichlet 条件）を課す。許される波数は

kn=nπL(n=1,2,3,… )k_n=\frac{n\pi}{L}\qquad(n=1,2,3,\dots)

であり、質量ゼロなので ωn=kn=nπ/L\omega_n=k_n=n\pi/L。各モードが ωn/2\omega_n/2 の零点エネルギーを持つから

E(L)=12∑n=1∞ωn=π2L∑n=1∞n.(2.3.1)E(L)=\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\omega_n=\frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty}n.\tag{2.3.1}

∑n\sum n は当然発散する。ここで ζ\zeta 正則化を使う。Riemann の ζ\zeta 関数

ζ(s)=∑n=1∞n−s\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}

は Re⁡s>1\operatorname{Re} s>1 でのみ収束するが、複素平面全体（s=1s=1 の極を除く）へ一意に解析接続でき、その値は ζ(−1)=−1/12\zeta(-1)=-1/12 である。∑n=∑n−(−1)\sum n=\sum n^{-(-1)} をこの解析接続の値で置き換えるのが ζ\zeta 正則化である。すると

E(L)=π2L ζ(−1)=−π24L,F=−dEdL=−π24L2<0.(2.3.2)E(L)=\frac{\pi}{2L}\,\zeta(-1)=-\frac{\pi}{24L}, \qquad F=-\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} L}=-\frac{\pi}{24L^2}<0.\tag{2.3.2}

F<0F<0 は、LL を小さくする向きに力が働くこと、すなわち引力を意味する。

「発散する和を解析接続の値で置き換える」という操作は、初めて見るとごまかしにしか見えない。次の節で、まったく別の正則化（指数カットオフ）を使っても同じ有限部分が出ることを確かめる。有限部分が正則化の選び方に依らないことこそが、この答えを物理的に信用してよい理由である。

例題 3.1（ζ(−1)=−1/12\zeta(-1)=-1/12 の整合性を確かめる）

オリジナル交代級数 η(s)=∑n≥1(−1)n−1n−s\eta(s)=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}n^{-s} と ζ(s)\zeta(s) の関係η(s)=(1−21−s)ζ(s)\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) を示し、s=−1s=-1 での Abel 和を使ってζ(−1)=−1/12\zeta(-1)=-1/12 を確かめよ。

解答

Re⁡s>1\operatorname{Re} s>1 では絶対収束するので項の並べ替えが許され

η(s)=∑n≥1n−s−2∑n:偶n−s=ζ(s)−2∑k≥1(2k)−s=ζ(s)−21−sζ(s)=(1−21−s)ζ(s).\eta(s)=\sum_{n\ge1}n^{-s}-2\sum_{n:\text{偶}}n^{-s} =\zeta(s)-2\sum_{k\ge1}(2k)^{-s}=\zeta(s)-2^{1-s}\zeta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s).

両辺とも解析関数なので、この関係は解析接続した先でも成り立つ。s=−1s=-1 では 1−21−(−1)=1−4=−31-2^{1-(-1)}=1-4=-3 だから η(−1)=−3ζ(−1)\eta(-1)=-3\zeta(-1)。

一方 η(−1)=1−2+3−4+⋯\eta(-1)=1-2+3-4+\cdots を Abel 和で評価する。∣x∣<1|x|<1 で

∑n≥1(−1)n−1n xn=x(1+x)2\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}n\,x^{n}=\frac{x}{(1+x)^2}

（∑n≥1(−1)n−1xn=x/(1+x)\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}x^n=x/(1+x) を xx で微分して xx を掛ければ出る）。x→1−x\to1^- の極限を取ると 1/41/4 である。したがって η(−1)=1/4\eta(-1)=1/4、すなわち ζ(−1)=−1/12\zeta(-1)=-1/12。異なる2つの総和法が同じ値を与えることは、ζ\zeta 正則化が恣意的でないことの傍証になる。

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下 智貴
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