カットオフ正則化でも同じ有限部分が出る

場の量子論入門　第2部 第3章 §2.3.4　★ 正則化依存性が消える理由。発散項が体積に比例することが鍵。

$\zeta$ 関数を使わず、物理的に動機づけられた切り方をしてみる。板が完全導体なのは低振動数に限る話で、非常に高い振動数の波は板を素通りするはずである。そこで振動数の大きいモードの寄与を $\mathrm{e}^{-\varepsilon\omega_n}$ で滑らかに抑え、最後に $\varepsilon\to0$ とする。式(2.3.1) は

$$E(L,\varepsilon)=\frac{\pi}{2L}\sum_{n\ge1}n\,\mathrm{e}^{-qn}, \qquad q\equiv\frac{\pi\varepsilon}{L}$$

となる。等比級数を微分して

$$\sum_{n\ge1}n\,\mathrm{e}^{-qn}=\frac{\mathrm{e}^{-q}}{(1-\mathrm{e}^{-q})^2}=\frac{1}{4\sinh^2(q/2)}$$

であり、$\sinh u=u(1+u^2/6+u^4/120+\cdots)$ から$\sinh^2u=u^2(1+u^2/3+2u^4/45+\cdots)$、したがって

$$\frac{1}{4\sinh^2(q/2)}=\frac{1}{q^2}-\frac{1}{12}+\frac{q^2}{240}+\mathcal{O}(q^4).$$

これを代入すると

$$E(L,\varepsilon)=\frac{L}{2\pi\varepsilon^2}-\frac{\pi}{24L}+\mathcal{O}(\varepsilon^2).\tag{2.3.3}$$

第1項は $\varepsilon\to0$ で発散するが、$L$ に比例している。$L$ に比例するということは、これが「単位長さあたり一定の真空エネルギー密度」、すなわち板があろうがなかろうが空間が持っている量であることを意味する。第2項は $\zeta$ 正則化の答え(2.3.2) と完全に一致する。

発散項が本当に力に寄与しないことを確かめるには、配置を工夫すればよい。長さ $R$ の区間の両端と、内部の位置 $a$ の計3か所に板を置く。全エネルギーは

$$E_{\text{tot}}(a)=E(a,\varepsilon)+E(R-a,\varepsilon) =\frac{a+(R-a)}{2\pi\varepsilon^2}-\frac{\pi}{24a}-\frac{\pi}{24(R-a)}+\mathcal{O}(\varepsilon^2).$$

発散項は $R/(2\pi\varepsilon^2)$ となって $a$ に依存しない。したがって中央の板に働く力$F=-\partial E_{\text{tot}}/\partial a$ には発散項が寄与せず、$R\to\infty$ で

$$F=-\frac{\pi}{24a^2}$$

が残る。式(2.3.2) と同じである。

正則化依存性が消える理由は、これで明確になった。カットオフに依存する項は「長さ（3次元なら体積）に比例する項」や「境界の面積に比例する項」といった局所的な量であり、板の間隔 $a$ に依存しない。$a$ に依存する残りの部分は有限で、どの正則化を使っても同じ値になる。同じ論理が第6部のくりこみ可能性の議論でも中心的な役割を果たす。