電磁場の平行平板

場の量子論入門　第2部 第3章 §2.3.5　★ 実験と比較される本来の Casimir 効果。結果の紹介にとどめる。

現実の Casimir 効果は、3次元空間で電磁場について起きる。間隔 $a$ の無限に広い平行導体平板に対する結果は

$$\frac{E}{A}=-\frac{\pi^2}{720\,a^3}, \qquad P=-\frac{\partial}{\partial a}\frac{E}{A}=-\frac{\pi^2}{240\,a^4}\tag{2.3.4}$$

である（$A$ は板の面積、$P<0$ は引力）。導出の骨格だけ述べると、板に垂直な方向の波数は $k_z=n\pi/a$ と離散化され、平行な2方向は連続なので

$$\frac{E}{A}=2\cdot\frac12\sum_{n}\int\!\frac{\mathrm{d}^2k_\parallel}{(2\pi)^2} \sqrt{k_\parallel^2+\Bigl(\frac{n\pi}{a}\Bigr)^2}$$

という形になる。先頭の $2$ は光子の2つの偏光の自由度である。$n$ についての和と $k_\parallel$ についての積分を1次元の場合と同様に正則化し、板がないときの値（$n$ の和を積分で置き換えたもの）を差し引くと式(2.3.4) が出る。和と積分の差を評価する道具がEuler–Maclaurin の公式で、そこに現れる Bernoulli 数が $\pi^2/720$ の由来である。なお指数 $a^{-4}$ は次元解析だけで決まる（圧力の質量次元は $4$ で、質量ゼロの電磁場の問題には $a$ 以外に長さのスケールがない）。係数だけが計算を要する。