微視的因果律は何を要求するか

場の量子論入門　第2部 第4章 §2.4.1　★★★ 空間的分離での交換子ゼロ。要求の物理的内容。

本章はこの部の中核である。前半では、場の理論が相対論的因果律と両立することを交換子の計算で確かめる。後半では、時間順序積の真空期待値として Feynman 伝播関数を定義し、その運動量表示 $D_F(p)=\mathrm{i}/(p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon)$ を$p^0$ 積分の実行によって導く。$D_F$ は第3部以降、すべての摂動計算に現れる。

相対論では、空間的に隔たった2つの事象は互いに影響を及ぼせない。量子論でこれを述べるには、観測量の交換子の言葉を使う。2つの観測量が交換すれば同時に確定値を持ち、一方の測定が他方の測定結果の統計に影響しない。したがって

$$\left[\mathcal{O}_1(x),\,\mathcal{O}_2(y)\right]=0 \qquad\text{（}{(x-y)^2<0}\text{ のとき）}$$

を要求する。これを微視的因果律と呼ぶ。スカラー場の理論ではすべての観測量が $\phi$ とその微分から作られるので、$\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=0$ を示せば十分である。

図 4.1：光円錐。点 $x$ から見て $y$ は空間的分離（$(x-y)^2<0$）にあり、このとき $\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=0$ が要求される。$y'$ は時間的分離にあり、交換子はゼロにならなくてよい。