交換子を実際に計算する

場の量子論入門　第2部 第4章 §2.4.2　★★★ Lorentz 不変性と偶奇性だけで結論が出る。

まず基本的な量として

$$D(x-y)\equiv\langle 0 | \phi(x)\phi(y) | 0 \rangle\tag{2.4.1}$$

を計算する。$\phi(y)$ の生成演算子の項と $\phi(x)$ の消滅演算子の項だけが生き残り、式(2.1.5) と $\langle 0 | a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{q}} | 0 \rangle =(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ から

$$\begin{aligned}D(x-y)&=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}^3 q}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}\sqrt{2E_{\bm{q}}}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x+\mathrm{i} q\cdot y}\langle 0 | a_{\bm{p}} a^\dagger_{\bm{q}} | 0 \rangle \\ &=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)}.\end{aligned}$$

測度が不変測度(2.2.3) であり、肩の $p\cdot(x-y)$ も不変だから、$D(x-y)$ は Lorentz 不変な関数である（正エネルギー側の質量殻を使っているので、真の Lorentz 変換では移り合う範囲が保たれる）。求める交換子は

$$\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=D(x-y)-D(y-x)\tag{2.4.2}$$

である（$\phi(y)\phi(x)$ の真空期待値が $D(y-x)$ になることは同じ計算による。なお $\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]$ は c 数なので、真空期待値を取っても一般の状態で取っても同じである）。

空間的分離の場合.

$(x-y)^2<0$ なら、適当な Lorentz 変換で $x^0=y^0$ にできる（空間的な4元ベクトルは、ある慣性系で純空間的に見える）。その系では

$$D(x-y)=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})}, \qquad D(y-x)=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})}.$$

$E_{\bm{p}}=E_{-\bm{p}}$ なので、第2式で $\bm{p}\to-\bm{p}$ と積分変数を置換すれば第1式に一致する。よって $D(x-y)=D(y-x)$、すなわち

$$\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=0 \qquad\bigl((x-y)^2<0\bigr).\tag{2.4.3}$$

$D$ が Lorentz 不変なので、1つの系で示せばすべての系で成り立つ。

時間的分離の場合.

$(x-y)^2>0$ なら、逆に $\bm{x}=\bm{y}$ にできる系がある。そこでは$t\equiv x^0-y^0$ として

$$\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}} \Bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}-\mathrm{e}^{+\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}\Bigr)\ne0.$$

今度は $\bm{p}\to-\bm{p}$ の置換では2項が入れ替わらないので、相殺は起きない。時間的に隔たった2点では場は交換せず、因果的な影響を伝えることができる。