時間順序積と Feynman 伝播関数

場の量子論入門　第2部 第4章 §2.4.3　★★★ 定義と、摂動論に現れる理由。

摂動論（第3部 第1章）では、時間発展演算子を展開したときに演算子が時刻の順に並ぶ。そこで現れる組み合わせが時間順序積である：

$$\mathrm{T}\!\left\{\phi(x)\phi(y)\right\} \equiv\theta(x^0-y^0)\,\phi(x)\phi(y)+\theta(y^0-x^0)\,\phi(y)\phi(x).$$

遅い時刻の演算子を左に並べる規則である。その真空期待値を Feynman 伝播関数と呼ぶ：

$$D_F(x-y)\equiv\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x)\phi(y)\right\} | 0 \rangle =\theta(x^0-y^0)D(x-y)+\theta(y^0-x^0)D(y-x).\tag{2.4.4}$$

$\theta$ 関数が入っているので、これが Lorentz 不変かどうかは自明でない。時間の順序は、時間的分離なら不変だが空間的分離では系によって入れ替わりうるからである。しかし式(2.4.3) により、空間的分離では $D(x-y)=D(y-x)$ なので、どちらの順序を採っても同じ値になる。したがって $D_F$ は Lorentz 不変である。微視的因果律が、時間順序積という一見不変でない構成を救っている。