時間成分の積分と極のずらし方

場の量子論入門　第2部 第4章 §2.4.4　★★★ この部で最も計算らしい計算。極の位置と積分路を全部書く。

主張は、式(2.4.4) が次の4次元積分に等しいことである：

$$D_F(x-y)=\int\!\frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4}\ \frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)}, \qquad D_F(p)=\frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}.\tag{2.4.5}$$

ここで $p^0$ は $E_{\bm{p}}$ に固定されておらず、独立な積分変数である。$\varepsilon>0$ は無限小で、最後に $\varepsilon\to0^+$ とする。以下ではこの主張を、$p^0$ 積分を複素積分で実行することによって確かめる。

極の位置

分母を $p^0$ の2次式として因数分解する。$p^2-m^2=(p^0)^2-\bm{p}^2-m^2=(p^0)^2- E_{\bm{p}}^2$ だから

$$(p^0)^2- E_{\bm{p}}^2+\mathrm{i}\varepsilon =\bigl(p^0- E_{\bm{p}}+\mathrm{i}\varepsilon'\bigr)\bigl(p^0+ E_{\bm{p}}-\mathrm{i}\varepsilon'\bigr), \qquad \varepsilon'\equiv\frac{\varepsilon}{2 E_{\bm{p}}}.$$

実際、右辺を展開すると $(p^0)^2-( E_{\bm{p}}-\mathrm{i}\varepsilon')^2 =(p^0)^2- E_{\bm{p}}^2+2\mathrm{i} E_{\bm{p}}\varepsilon'+\mathcal{O}(\varepsilon'^2)$ となり、$2 E_{\bm{p}}\varepsilon'=\varepsilon$ である。したがって極は

$$p^0=+ E_{\bm{p}}-\mathrm{i}\varepsilon'\quad(\text{下半面}), \qquad p^0=- E_{\bm{p}}+\mathrm{i}\varepsilon'\quad(\text{上半面})$$

の2つで、正エネルギー極は実軸のわずかに下、負エネルギー極は実軸のわずかに上にずれている。$\mathrm{i}\varepsilon$ 処方とは、このずらし方を指定することにほかならない。

時間差が正の場合

$t\equiv x^0-y^0$ と置き、$p^0$ 積分だけを取り出す。指数の肩は$-\mathrm{i} p\cdot(x-y)=-\mathrm{i} p^0t+\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})$ なので、$p^0$ に関わる部分は

$$I(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d} p^0}{2\pi}\ \frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^0t}}{(p^0- E_{\bm{p}}+\mathrm{i}\varepsilon')(p^0+ E_{\bm{p}}-\mathrm{i}\varepsilon')}.$$

$p^0=R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ と書くと $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^0t}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Rt\cos\theta}\mathrm{e}^{Rt\sin\theta}$ だから、$t>0$ のとき $\sin\theta<0$（下半面）で指数関数が減衰する。被積分関数は $|p^0|^{-2}$ で減衰するので、半径 $R\to\infty$ の下半円の寄与はゼロになる。そこで実軸上の積分は下半面に閉じた閉曲線の積分に等しい。閉曲線は時計回りなので留数定理の符号は $-2\pi\mathrm{i}$ である。囲まれる極は $p^0= E_{\bm{p}}-\mathrm{i}\varepsilon'$ だけで、そこでの留数は

$$\lim_{p^0\to E_{\bm{p}}}\ \frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^0t}}{p^0+ E_{\bm{p}}}=\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{2 E_{\bm{p}}}.$$

（$\varepsilon'\to0$ とした。）したがって

$$I(t)=\frac{1}{2\pi}\times(-2\pi\mathrm{i})\times\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{2 E_{\bm{p}}} =\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{2 E_{\bm{p}}} \qquad(t>0).$$

$(-\mathrm{i})(\mathrm{i})=1$ を使った。これを4次元積分に戻すと

$$\int\!\frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4}\ \frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon} =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})} =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)}\Big|_{p^0= E_{\bm{p}}} =D(x-y).$$

式(2.4.4) の $t>0$ の場合と一致する。

時間差が負の場合

$t<0$ では $\sin\theta>0$（上半面）で $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^0t}$ が減衰するので、上半面に閉じる。今度は反時計回りなので $+2\pi\mathrm{i}$ を掛け、囲まれる極は $p^0=- E_{\bm{p}}+\mathrm{i}\varepsilon'$ である。留数は

$$\lim_{p^0\to- E_{\bm{p}}}\ \frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^0t}}{p^0- E_{\bm{p}}}=\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{-2 E_{\bm{p}}}$$

なので

$$I(t)=\frac{1}{2\pi}\times(2\pi\mathrm{i})\times\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{-2 E_{\bm{p}}} =\frac{\mathrm{e}^{+\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{2 E_{\bm{p}}} \qquad(t<0).$$

これを4次元積分に戻し、さらに空間積分で $\bm{p}\to-\bm{p}$ と置換すると

$$\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})} =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i} E_{\bm{p}}(x^0-y^0)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})} =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(y-x)}=D(y-x).$$

最後の等号では $-p\cdot(y-x)=- E_{\bm{p}}(y^0-x^0)+\bm{p}\cdot(\bm{y}-\bm{x}) = E_{\bm{p}}(x^0-y^0)-\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})$ を使った。これも式(2.4.4) と一致する。以上で主張(2.4.5) が示された。