Green 関数としての意味

$\theta$ 関数の微分は $\partial_{x^0}\theta(x^0-y^0)=\delta(x^0-y^0)$ である。式(2.4.4) を $x^0$ で1回微分すると

$$\partial_{x^0}D_F =\delta(x^0-y^0)\langle 0 | \left[\phi(x),\,\phi(y)\right] | 0 \rangle +\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\dot\phi(x)\phi(y)\right\} | 0 \rangle .$$

第1項は、同時刻交換関係 $\left[\phi(\bm{x}),\,\phi(\bm{y})\right]=0$ によりゼロである。もう1回微分すると

$$\partial_{x^0}^2D_F =\delta(x^0-y^0)\langle 0 | \left[\dot\phi(x),\,\phi(y)\right] | 0 \rangle +\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\ddot\phi(x)\phi(y)\right\} | 0 \rangle .$$

第1項の交換子は、同時刻では $\dot\phi=\pi$ だから$\left[\pi(\bm{x}),\,\phi(\bm{y})\right]=-\mathrm{i}\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$ であり、$\delta(x^0-y^0)\delta^3(\bm{x}-\bm{y})=\delta^4(x-y)$ とまとまって$-\mathrm{i}\delta^4(x-y)$ になる。

空間微分は $\theta$ 関数に作用しないので、$-\nabla_x^2+m^2$ の部分はそのまま時間順序積の中に入る。したがって

$$(\Box_x+m^2)D_F(x-y) =-\mathrm{i}\delta^4(x-y)+\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\bigl[(\Box+m^2)\phi(x)\bigr]\phi(y)\right\} | 0 \rangle .$$

自由場の演算子は Klein–Gordon 方程式 $(\Box+m^2)\phi=0$ を満たす（例題 1.2）ので第2項は消え、式(2.4.6) を得る。$\delta^4$ の係数 $-\mathrm{i}$ の出どころが正準交換関係そのものであることが、この導出でははっきり見える。

等時刻では $D=\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{p}\cdot(\bm{x}-\bm{y})}$。球座標を取り、$\bm{p}$ と $\bm{x}-\bm{y}$ のなす角を $\theta$ として$\mathrm{d}^3p=p^2\mathrm{d} p\,\mathrm{d}(\cos\theta)\,\mathrm{d}\varphi$、$\int_{-1}^{1}\mathrm{d}(\cos\theta)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} pr\cos\theta}=\frac{2\sin(pr)}{pr}$ より

$$D=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty\!\mathrm{d} p\ p^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{p^2+m^2}}\cdot2\pi\cdot\frac{2\sin(pr)}{pr} =\frac{1}{4\pi^2r}\int_0^\infty\!\mathrm{d} p\ \frac{p\sin(pr)}{\sqrt{p^2+m^2}}.$$

減衰の速さは被積分関数の解析性で決まる。$\sqrt{p^2+m^2}$ は$p=\pm\mathrm{i} m$ に分岐点を持つので、積分路を複素 $p$ 平面の上半面へずらすと分岐点からの寄与が $\mathrm{e}^{-mr}$ の形で残る。すなわち $r\gg1/m$ で$D\sim\mathrm{e}^{-mr}$ と指数関数的に減衰し、減衰長は Compton 波長 $1/m$ である。ゼロではないが、光円錐の外へ「漏れる」範囲は Compton 波長程度に限られる。そして交換子ではこの漏れが厳密に相殺するので、因果律は破れない。