複素スカラー場の量子化

場の量子論入門　第2部 第5章 §2.5.1　★★★ 2種類の生成消滅演算子。Hermite でないことが本質。

実スカラー場には保存する内部量子数がない。粒子と反粒子が同一で、電荷のようなラベルを持たないからである。荷電粒子を記述するには場を複素数値にする必要がある。本章では複素スカラー場を量子化し、そこから U(1) 電荷と反粒子が出てくることを見る。『量子力学入門』第13部で未解決のまま残した2つの問題（負エネルギー解と負の確率密度）が、ここで完全に解消する。

Lagrangian 密度を

$$\mathcal{L}=(\partial_{\mu}\phi^\dagger)(\partial^{\mu}\phi)-m^2\phi^\dagger\phi$$

とする。$\phi$ と $\phi^\dagger$ を独立な場として扱うと、共役運動量は

$$\pi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi}=\dot\phi^\dagger, \qquad \pi^\dagger=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi^\dagger}=\dot\phi,$$

であり、正準交換関係は

$$\left[\phi(\bm{x}),\,\pi(\bm{y})\right]=\mathrm{i}\delta^3(\bm{x}-\bm{y}), \qquad \left[\phi^\dagger(\bm{x}),\,\pi^\dagger(\bm{y})\right]=\mathrm{i}\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$$

（他の組み合わせはゼロ）となる。運動方程式は $\phi$ と $\phi^\dagger$ のそれぞれについて Klein–Gordon 方程式である。

モード展開で決定的なのは、$\phi$ が Hermite ではないという点である。実場のときは $\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}$ の係数が $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}$ の係数のHermite 共役でなければならなかった（第1章）。複素場ではその縛りがないので、2種類の独立な演算子を導入して

$$\begin{align*}\phi(x)&=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}} \Bigl( a_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}+b^\dagger_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}\Bigr),\tag{2.5.1}\\\phi^\dagger(x)&=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2 E_{\bm{p}}}} \Bigl(b_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}+ a^\dagger_{\bm{p}}\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}\Bigr)\tag{2.5.2}\end{align*}$$

と書く。$\phi^\dagger$ は $\phi$ の Hermite 共役なので、$\phi$ に $a$ と $b^\dagger$ が入れば $\phi^\dagger$ には $b$ と $a^\dagger$ が入る。実場は $b=a$ という特別な場合に相当する。

正準交換関係から出る演算子の代数は

$$\left[ a_{\bm{p}},\, a^\dagger_{\bm{q}}\right]=\left[b_{\bm{p}},\,b^\dagger_{\bm{q}}\right]=(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q}),$$

これ以外の交換子（$\left[a,\,b\right]$、$\left[a,\,b^\dagger\right]$ など）はすべてゼロである。導出は第1章と同じ手順を $\phi,\pi$ の組と $\phi^\dagger,\pi^\dagger$ の組にそれぞれ適用すればよい。ハミルトニアンは（正規順序化した形で）

$$H=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ E_{\bm{p}}\Bigl( a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+b^\dagger_{\bm{p}}b_{\bm{p}}\Bigr)\tag{2.5.3}$$

となる。$a$ 型の量子も $b$ 型の量子も、どちらも正のエネルギー $E_{\bm{p}}$ を持つ。$b^\dagger$ が「負振動数解 $\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}$ の係数」であることは、そのエネルギーの符号とは何の関係もない。