U(1) 対称性と保存電荷

場の量子論入門　第2部 第5章 §2.5.2　★★★ $Q=N_a-N_b$ を導く。反粒子の定義がここで決まる。

複素場の Lagrangian は、位相の一斉変換

$$\phi\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\phi, \qquad \phi^\dagger\to\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\alpha}\phi^\dagger \qquad(\alpha:\ \text{定数})$$

のもとで不変である（$\phi^\dagger\phi$ も $\partial_{\mu}\phi^\dagger\partial^{\mu}\phi$ も位相が打ち消し合う）。これを大域的 U(1) 対称性と呼ぶ。実場ではこの対称性がない（実数に位相を掛けたら実数でなくなる）ことに注意する。

第1部 第4章の Noether の定理を適用する。$\delta\phi=-\mathrm{i}\alpha\phi$、$\delta\phi^\dagger=+\mathrm{i}\alpha\phi^\dagger$ なので保存カレントは

$$j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\frac{\delta\phi}{\alpha} +\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi^\dagger)}\frac{\delta\phi^\dagger}{\alpha} =\mathrm{i}\Bigl(\phi^\dagger\partial^{\mu}\phi-(\partial^{\mu}\phi^\dagger)\phi\Bigr),$$

保存電荷は

$$Q=\int\!\mathrm{d}^3x\ j^0=\mathrm{i}\int\!\mathrm{d}^3x\ \Bigl(\phi^\dagger\dot\phi-\dot\phi^\dagger\phi\Bigr).\tag{2.5.4}$$

これを展開(2.5.1)(2.5.2) で書き直す。$\dot\phi$ は $a$ の項に $-\mathrm{i} E_{\bm{p}}$、$b^\dagger$ の項に $+\mathrm{i} E_{\bm{p}}$ を掛けたものである。空間積分は第1章と同じく $\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ 型（$a^\dagger a$、$bb^\dagger$ の項）と$\delta^3(\bm{p}+\bm{q})$ 型（$a^\dagger b^\dagger$、$ba$ の項）を生む。整理すると

$$\int\!\mathrm{d}^3x\ \phi^\dagger\dot\phi =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \left[-\frac{\mathrm{i}}{2} a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+\frac{\mathrm{i}}{2}b_{\bm{p}}b^\dagger_{\bm{p}}\right] +(\text{$\mathrm{e}^{\pm2\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}$ の項}),$$

$$\int\!\mathrm{d}^3x\ \dot\phi^\dagger\phi =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \left[+\frac{\mathrm{i}}{2} a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}-\frac{\mathrm{i}}{2}b_{\bm{p}}b^\dagger_{\bm{p}}\right] +(\text{$\mathrm{e}^{\pm2\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}$ の項})$$

となり、振動する項は2つの式で完全に同じ形なので差を取ると消える。よって

$$Q=\mathrm{i}\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \Bigl(-\mathrm{i} a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+\mathrm{i}\,b_{\bm{p}}b^\dagger_{\bm{p}}\Bigr) =\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \Bigl( a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}-b_{\bm{p}}b^\dagger_{\bm{p}}\Bigr).$$

最後に $b_{\bm{p}}b^\dagger_{\bm{p}}=b^\dagger_{\bm{p}}b_{\bm{p}}+(2\pi)^3\delta^3(0)$ で正規順序に直し、発散した c 数を捨てると

$$Q=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\ \Bigl( a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}-b^\dagger_{\bm{p}}b_{\bm{p}}\Bigr)=N_a-N_b.\tag{2.5.5}$$

$a$ 型の量子は $Q=+1$、$b$ 型の量子は $Q=-1$ を持つ。質量は式(2.5.3) のとおり同じ $m$ である。すなわち、質量が等しく電荷が逆符号の2種類の粒子が1つの複素場から必然的に出てくる。これが粒子と反粒子である。

保存すること（$\left[Q,\,H\right]=0$）は Noether の定理から保証されている。実際に測れるのは $Q$ であって $N_a$ や $N_b$ ではない。相互作用を入れると$N_a$ も $N_b$ も個別には保存せず、対生成 $N_a,N_b$ がそろって $1$ 増える過程や対消滅がおきる。そのとき $Q=N_a-N_b$ だけが変わらない。