反粒子の正体

場の量子論入門　第2部 第5章 §2.5.3　★★★ Dirac の海が不要になる理由。この部で決着させる。

『量子力学入門』第13部では、Klein–Gordon 方程式や Dirac 方程式の負エネルギー解が深刻な問題を引き起こした。1粒子の波動関数として解釈すると、エネルギーが下に有界でなくなり、どんな状態も無限に低いエネルギーへ落ち込めてしまう。Dirac はこれを「負エネルギー準位がすべて詰まった海」を真空とみなすことで回避した。Pauli 原理があるので、海が満席なら電子はそれ以上落ちられない、という理屈である。

この処方には2つの弱点があった。第1に、Pauli 原理を使うのでフェルミオンにしか使えない。ボゾン（本章のスカラー場がまさにそれ）には適用できないのに、負エネルギー解の問題はボゾンにも同じように存在する。第2に、無限の電荷とエネルギーを持つ海を真空とみなす不自然さが残る。

場の量子論の答えは、海をまったく必要としない。鍵は式(2.5.1) の読み方である。負振動数解 $\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}$ に掛かっているのは「負エネルギー状態の占有振幅」ではなく、反粒子の生成演算子 $b^\dagger_{\bm{p}}$ である。生成演算子が掛かっているのだから、この項は状態のエネルギーを $+ E_{\bm{p}}$ だけ上げる。実際、式(2.5.3) のハミルトニアンは $a$ 型も $b$ 型も正の寄与しか与えず、最初から下に有界である。海を敷き詰める必要はない。

第4章の伝播関数とも接続する。複素場で$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x)\phi^\dagger(y)\right\} | 0 \rangle$ を計算すると、$t>0$ では $\phi^\dagger(y)$ が粒子を作り $\phi(x)$ がそれを消す過程、$t<0$ では $\phi(x)$ が反粒子を作り $\phi^\dagger(y)$ がそれを消す過程になっており、どちらも電荷を $y$ から $x$ へ $+1$ だけ運ぶ。1本の伝播関数が2つの過程をまとめて表しているのは、そのためである。これを「反粒子とは時間を逆行する粒子である」と言い表したのが Feynman–Stückelberg の解釈で、ダイアグラムの矢印の向きの規約（第4部 第2章）はここに由来する。