負の確率密度が電荷密度になる

場の量子論入門　第2部 第5章 §2.5.4　★★★ 相対論的量子力学のもう1つの病の解消。

『量子力学入門』第13部で見たもう1つの病は、Klein–Gordon 方程式から作った「確率密度」

$$\rho=\mathrm{i}\bigl(\phi^*\dot\phi-\dot\phi^*\phi\bigr)$$

が正定値でないことだった。確率密度が負になるのでは解釈のしようがない。

式(2.5.4) と見比べれば分かるとおり、この $\rho$ は本章の $j^0$ そのものである。場の理論では、これは確率密度ではなく電荷密度である。電荷密度が負になるのは何の不都合もない。その領域で反粒子が優勢だというだけのことである。実際 $\int\mathrm{d}^3x\,\rho=Q=N_a-N_b$ は負の整数値も取る。

では確率はどこへ行ったのか。Fock 空間の内積が引き受けている。状態 $| \Psi \rangle$ のノルム $\langle \Psi | \Psi \rangle$ は Fock 空間の構成から常に正であり、確率解釈はそちらで完結する。1粒子量子力学では「波動関数の絶対値2乗＝確率密度」と「保存カレントの時間成分」が同じものだったので混同が生じた。場の理論はこの2つを別々の量に分離し、前者を Fock 空間の内積、後者を Noether カレントに割り当てる。病の正体は、相対論的な保存カレントを無理に確率密度として読もうとしたことにあった。