2つの実場との対応

例題 5.2（実場2つの言葉で電荷を書く）

オリジナル実場 $\phi_j$ の生成消滅演算子を $a_{j,\bm{p}}$ とするとき、$a_{\bm{p}}$ と $b_{\bm{p}}$ を $a_{1,\bm{p}},a_{2,\bm{p}}$ で表し、$Q$ が SO(2) 回転の生成子の形になることを示せ。

この部のまとめ

第1章. 正準交換関係 $\left[\phi(\bm{x}),\,\pi(\bm{y})\right]=\mathrm{i}\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$ を要請し、空間 Fourier 変換で各モードを独立な調和振動子に分解した。展開係数の交換関係は$\left[ a_{\bm{p}},\, a^\dagger_{\bm{q}}\right]=(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ で、ハミルトニアンは$H=\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} E_{\bm{p}}\bigl( a^\dagger_{\bm{p}} a_{\bm{p}}+\frac12(2\pi)^3\delta^3(0)\bigr)$ になる。$\delta^3(0)$ の正体は体積 $V/(2\pi)^3$ である。

第2章. $a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle$ はエネルギー $E_{\bm{p}}$、運動量 $\bm{p}$ の相対論的粒子である。Lorentz 不変性のために $| p \rangle =\sqrt{2 E_{\bm{p}}} a^\dagger_{\bm{p}}| 0 \rangle$ と規格化し、不変測度$\int\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}$ と組にして使う。$\left[ a^\dagger_{\bm{p}},\, a^\dagger_{\bm{q}}\right]=0$ からBose 統計が定理として出る。$\langle p | \phi(x) | 0 \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}$ が場と波動関数をつなぐ。

第3章. 真空エネルギーの絶対値は正規順序化で捨ててよいが、差は測れる。1次元で $E(L)=-\pi/(24L)$、力は $-\pi/(24L^2)$ の引力。電磁場の平行平板では$E/A=-\pi^2/(720a^3)$、$P=-\pi^2/(240a^4)$。カットオフ正則化でも同じ有限部分が出るのは、発散項が長さ（体積）に比例して板の間隔に依存しないからである。

第4章. 空間的分離では $\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=0$（微視的因果律）。時間順序積の真空期待値が Feynman 伝播関数 $D_F(p)=\mathrm{i}/(p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon)$ で、$\mathrm{i}\varepsilon$ 処方は極 $+ E_{\bm{p}}$ を実軸の下、極 $- E_{\bm{p}}$ を上へずらす。$t>0$ で下半面に閉じると $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_{\bm{p}} t}/(2 E_{\bm{p}})$ が出る。$D_F$ は $(\Box+m^2)D_F=-\mathrm{i}\delta^4$ を満たす。

第5章. 複素場は $a,b$ の2種類の量子を持ち、U(1) 電荷は $Q=N_a-N_b$。反粒子は「負エネルギー状態」ではなく、負振動数解に掛かる生成演算子の量子である。Dirac の海は不要になり、Klein–Gordon の負の確率密度は電荷密度として無害化する。次の第3部では、$\mathcal{L}$ に $-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ を加え、この部で作った $D_F$ と生成消滅演算子を使って散乱振幅を計算する。