自由部分と相互作用部分への分割

場の量子論入門　第3部 第1章 §3.1.1　★★★ 何を「解けている部分」と見なすかを決める。

自由場の理論は厳密に解けた。相互作用のある理論は、ごく特殊な例外を除いて解けない。そこで摂動論を使うのだが、非相対論の量子力学で使った時間依存摂動論をそのまま持ち込むには、場の理論に固有の事情を二つ処理しなければならない。相互作用しているときの真空が自由な真空と違うこと、そして時間順序を明示的に管理しなければ相対論的な共変性が見えなくなることである。本章はその二つを片付け、以降の計算がすべて出発する Dyson 級数を導く。

まず Hamiltonian を分割する。$\phi^4$ 理論の Lagrangian 密度

$$\mathcal{L}=\tfrac12(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi)-\tfrac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$$

から正準運動量は $\pi=\partial\mathcal{L}/\partial\dot\phi=\dot\phi$ で、相互作用項が $\dot\phi$ を含まないため自由場のときと変わらない。Legendre 変換 $\mathcal{H}=\pi\dot\phi-\mathcal{L}$ を実行すると

$$\mathcal{H}=\underbrace{\tfrac12\pi^2+\tfrac12(\nabla\phi)^2+\tfrac12m^2\phi^2}_{\mathcal{H}_0} +\underbrace{\frac{\lambda}{4!}\phi^4}_{\mathcal{H}_{\rm int}}$$

となる。相互作用項の符号が反転している（$\mathcal{L}$ では $-\lambda\phi^4/4!$、$\mathcal{H}$ では $+\lambda\phi^4/4!$）ことに注意する。微分結合が無い理論では、一般に $\mathcal{H}_{\rm int}=-\mathcal{L}_{\rm int}$ である。全体としては

$$H=H_0+H_{\rm int},\qquad H_0=\int\!\mathrm{d}^3x\,\mathcal{H}_0,\qquad H_{\rm int}=\int\!\mathrm{d}^3x\,\frac{\lambda}{4!}\phi^4 .$$

ここで $\lambda$ は無次元の結合定数である（第1部 第5章の質量次元の勘定で $[\phi]=1$、$[\mathcal{L}]=4$ より $[\lambda]=0$）。$\lambda$ が小さいと仮定して $\lambda$ の冪で展開するのが摂動論であり、以下の全体はその展開の組織化にほかならない。