相互作用描像の場は自由場と同じ形の方程式に従う

定義を $t$ で微分すると、指数関数の微分から2項が出るが、$\phi(t_0,\bm{x})$ 自体は $t$ に依らないので

$$\mathrm{i}\,\partial_t\phi_I=\mathrm{i}\bigl(\mathrm{i} H_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} H_0\Delta t}\phi\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} H_0\Delta t}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} H_0\Delta t}\phi\,(-\mathrm{i} H_0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} H_0\Delta t}\bigr) =-\bigl(H_0\phi_I-\phi_I H_0\bigr)=\left[\phi_I,\,H_0\right]$$

（$\Delta t=t-t_0$ と略記し、$H_0$ と $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} H_0\Delta t}$ が可換であることを使った）。同様に $\pi_I$ についても $\mathrm{i}\partial_t\pi_I=\left[\pi_I,\,H_0\right]$ が成り立つ。

次に右辺を計算する。$H_0=\int\mathrm{d}^3y\,\bigl[\frac12\pi^2+\frac12(\nabla\phi)^2+\frac12m^2\phi^2\bigr]$ を相互作用描像の場で書いたものは、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} H_0\Delta t}$ で挟んでも $H_0$ 自身は不変なので同じ形を保つ。正準交換関係も同時刻のものは描像変換で不変だから $\left[\phi_I(t,\bm{x}),\,\pi_I(t,\bm{y})\right]=\mathrm{i}\delta^3(\bm{x}-\bm{y})$ である。よって

$$\left[\phi_I(t,\bm{x}),\,H_0\right]=\int\!\mathrm{d}^3y\,\tfrac12\left[\phi_I(x),\,\pi_I(y)^2\right]=\int\!\mathrm{d}^3y\,\mathrm{i}\delta^3(\bm{x}-\bm{y})\pi_I(y)=\mathrm{i}\,\pi_I(t,\bm{x}),$$

すなわち $\partial_t\phi_I=\pi_I$。もう一度微分して $\mathrm{i}\partial_t\pi_I=\left[\pi_I,\,H_0\right]$ を使う。$\pi$ と $\phi$ の交換子から

$$\left[\pi_I(t,\bm{x}),\,H_0\right]=\int\!\mathrm{d}^3y\,\Bigl[\tfrac12\left[\pi_I(x),\,(\nabla\phi_I(y))^2\right]+\tfrac12m^2\left[\pi_I(x),\,\phi_I(y)^2\right]\Bigr] =-\mathrm{i}\bigl(-\nabla^2\phi_I+m^2\phi_I\bigr)$$

（勾配の項は部分積分を1回使った）。したがって $\partial_t\pi_I=-(-\nabla^2+m^2)\phi_I$ となり、二式を合わせて

$$\partial_t^2\phi_I=\partial_t\pi_I=\nabla^2\phi_I-m^2\phi_I \quad\Longleftrightarrow\quad (\Box+m^2)\phi_I=0 .$$

相互作用項はどこにも現れなかった。分割で $H_0$ だけを演算子側へ渡したのだから当然だが、この「当然」が摂動論を計算可能にしている。