時間順序と Dyson 級数

場の量子論入門　第3部 第1章 §3.1.3　★★★ 摂動展開の閉じた表式。以降の全計算の出発点。

状態の時間発展を担う演算子を

$$U(t,t_0)\equiv \mathrm{e}^{\mathrm{i} H_0(t-t_0)}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} H(t-t_0)}$$

と定義する。$U(t_0,t_0)=1$ であり、$t$ で微分すると

$$\mathrm{i}\,\partial_t U(t,t_0)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} H_0(t-t_0)}(H-H_0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} H(t-t_0)} =\underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{i} H_0(t-t_0)}H_{\rm int}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} H_0(t-t_0)}}_{\displaystyle \equiv H_I(t)}\,U(t,t_0)$$

となる（途中で $1=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} H_0(t-t_0)}\mathrm{e}^{\mathrm{i} H_0(t-t_0)}$ を挟んだ）。$H_I(t)$ は相互作用描像の場だけで書かれた相互作用 Hamiltonian で、$\phi^4$ 理論なら

$$H_I(t)=\int\!\mathrm{d}^3x\,\frac{\lambda}{4!}\,\phi_I(t,\bm{x})^4$$

である。求めるべき方程式は

$$\mathrm{i}\,\partial_t U(t,t_0)=H_I(t)\,U(t,t_0),\qquad U(t_0,t_0)=1 .\tag{3.1.1}$$

もし $H_I$ が数（$c$ 数）なら答えは $\exp\bigl(-\mathrm{i}\int_{t_0}^tH_I\mathrm{d} t'\bigr)$ である。しかし $H_I(t)$ は演算子であり、異なる時刻の $H_I$ どうしは一般に交換しない。実際 $H_I$ は $\phi_I$ の4次式で、自由場の交換子は $\left[\phi_I(x),\,\phi_I(y)\right]\neq0$（時間的に離れた2点で）だから $\left[H_I(t_1),\,H_I(t_2)\right]\neq0$ である。素朴な指数関数の微分 $\partial_t\mathrm{e}^{A(t)}$ は $\dot A\,\mathrm{e}^{A}$ にならないので、上の推測は式(3.1.1)を満たさない。ここで時間順序が要る。

(3.1.1)を積分方程式に直し、逐次代入する。

$$U(t,t_0)=1-\mathrm{i}\int_{t_0}^{t}\!\mathrm{d} t_1\,H_I(t_1)U(t_1,t_0)$$

に $U$ を繰り返し代入すると

$$U(t,t_0)=1+(-\mathrm{i})\!\int_{t_0}^{t}\!\!\mathrm{d} t_1H_I(t_1)+(-\mathrm{i})^2\!\int_{t_0}^{t}\!\!\mathrm{d} t_1\!\int_{t_0}^{t_1}\!\!\mathrm{d} t_2\,H_I(t_1)H_I(t_2)+\cdots\tag{3.1.2}$$

となる。$k$ 次の項では積分領域が $t\ge t_1\ge t_2\ge\cdots\ge t_k\ge t_0$ という単体（simplex）で、被積分演算子は遅い時刻ほど左に並んでいる。この並びは因果の順序そのものである。系は先に $t_k$ で蹴られ、最後に $t_1$ で蹴られる。左から右へ読むと時間を遡ることになる。

時間順序積を使うと、単体上の積分を立方体 $[t_0,t]^k$ 全体の積分に書き換えられる。立方体は $k$ 個の時刻の大小関係で $k!$ 個の単体に分割でき、$\mathrm{T}\!\left\{\cdots\right\}$ の中身はどの単体でも同じ値を与えるから、立方体の積分は単体の積分の $k!$ 倍になる。したがって(3.1.2)は

$\phi^4$ 理論では $H_I(t)=\int\mathrm{d}^3x\,\frac{\lambda}{4!}\phi_I^4$ だから、時間積分と空間積分が合わさって4次元積分になり、

$$U(\infty,-\infty)=\mathrm{T}\!\left\{\exp\Bigl(-\mathrm{i}\frac{\lambda}{4!}\int\!\mathrm{d}^4x\;\phi_I(x)^4\Bigr)\right\}$$

という Lorentz 不変な形が現れる。時間順序積を導入した御利益がここに出る。単体積分の形では時間が特別扱いされていて共変性が見えないが、時間順序積の中では4次元積分が独立に走り、$\mathrm{T}\!\left\{\ \right\}$ 自体も（空間的に離れた2点での場は交換するので）Lorentz 不変な操作になる。