縮約と、二つの場の時間順序積

(i) $x^0>y^0$ の場合. 本文で示したとおり、

$$\begin{aligned}\mathrm{T}\!\left\{\phi(x)\phi(y)\right\}&=\phi(x)\phi(y)={:}\mkern2mu \phi(x)\phi(y)\mkern2mu {:}+\left[\phi^{+}(x),\,\phi^{-}(y)\right],\\ \left[\phi^{+}(x),\,\phi^{-}(y)\right]&=\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot(x-y)}}{2 E_{\bm{p}}} .\end{aligned}$$

(ii) $y^0>x^0$ の場合. 定義より $\mathrm{T}\!\left\{\phi(x)\phi(y)\right\}=\phi(y)\phi(x)$ である。同じ分解を $\phi(y)\phi(x)$ に対して行うと、順序が正規でないのは $\phi^{+}(y)\phi^{-}(x)$ で、

$$\phi(y)\phi(x)={:}\mkern2mu \phi(y)\phi(x)\mkern2mu {:}+\left[\phi^{+}(y),\,\phi^{-}(x)\right] ={:}\mkern2mu \phi(x)\phi(y)\mkern2mu {:}+\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot(y-x)}}{2 E_{\bm{p}}}$$

となる（正規順序積は中身の順序に依らないので ${:}\mkern2mu \phi(y)\phi(x)\mkern2mu {:}={:}\mkern2mu \phi(x)\phi(y)\mkern2mu {:}$）。したがって二つの場合をまとめると

$$\overbracket[0.5pt][2pt]{\phi(x)\phi(y)}=\theta(x^0-y^0)\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot(x-y)}}{2 E_{\bm{p}}}+\theta(y^0-x^0)\int\!\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot(y-x)}}{2 E_{\bm{p}}}$$

であり、これは第2部で $D_F(x-y)$ として構成したものと一致する。どちらの場合も右辺は演算子を含まない数である。

空間的分離での振る舞い. $(x-y)^2<0$ のとき、$D_F$ はゼロにならず $\mathrm{e}^{-m\sqrt{-(x-y)^2}}$ で指数的に減衰しながら有限に残る。ただし交換子 $\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]$ は空間的分離で厳密にゼロで、因果律はそちらが保証する。測定可能なのは交換子であって伝播関数ではないので、$D_F\neq0$ は因果律の破れを意味しない（第2部 第4章）。