Wick の定理（一般形と帰納法による証明）

$\phi=\phi^{+}+\phi^{-}$ と分けて、二つの部分を別々に処理する。正規順序積 ${:}\mkern2mu \phi_1\cdots\phi_m\mkern2mu {:}$ は、定義により「生成部分 $\phi_i^{-}$ をすべて左に、消滅部分 $\phi_i^{+}$ をすべて右に集めた」形の項の和である。

(a) 消滅部分 $\phi^{+}$ を右から掛ける場合. 右端はもともと消滅演算子が並ぶ場所なので、$\phi^{+}$ を右端に置いたままで正規順序の条件を満たしている。よって $c$ 数を拾うことなく

$${:}\mkern2mu \phi_1\cdots\phi_m\mkern2mu {:}\,\phi^{+}={:}\mkern2mu \phi_1\cdots\phi_m\,\phi^{+}\mkern2mu {:} .$$

(b) 生成部分 $\phi^{-}$ を右から掛ける場合. 生成演算子が右端に来てしまうので、正規順序に直すには $\phi^{-}$ を、正規順序積の中の消滅部分 $\phi_i^{+}$ たちの左まで動かさなければならない。1個通すたびに交換子が $c$ 数として外へ出る：

$$\phi_i^{+}\,\phi^{-}=\phi^{-}\,\phi_i^{+}+\left[\phi_i^{+},\,\phi^{-}\right] .$$

$m$ 個すべてについてこれを行うと

$${:}\mkern2mu \phi_1\cdots\phi_m\mkern2mu {:}\,\phi^{-} ={:}\mkern2mu \phi_1\cdots\phi_m\,\phi^{-}\mkern2mu {:} +\sum_{i=1}^{m}{:}\mkern2mu \phi_1\cdots\widehat{\phi_i}\cdots\phi_m\mkern2mu {:}\;\left[\phi_i^{+}(x_i),\,\phi^{-}(x)\right]$$

を得る。第1項は交換子を拾わずに並べ替えた項、第2項は $i$ 番目の場と交換子を拾って場が2個減った項である。

(a)(b) を合わせる. 出てきた $c$ 数は、生成消滅演算子の交換関係から

$$\left[\phi_i^{+}(x_i),\,\phi^{-}(x)\right]=\langle 0 | \phi(x_i)\phi(x) | 0 \rangle$$

と書ける（右辺で生き残るのは $\langle 0 | \phi_i^{+}\phi^{-} | 0 \rangle$ の項だけで、それが左辺の交換子に等しい）。いま $x^0$ が $x_i^0$ より早いと仮定したので、$\mathrm{T}\!\left\{\phi(x_i)\phi(x)\right\}=\phi(x_i)\phi(x)$ であり、右辺は $\overbracket[0.5pt][2pt]{\phi_i\,\phi}$ に等しい。よって補題の式を得る。仮定「$\phi$ の時刻が最も早い」は、この最後の書き換えのためだけに使った。

$n=2$ は前節で示した。$n$ 個で成り立つと仮定し、$n+1$ 個の場合を示す。時間順序積は場を並べ替えてよい（$\mathrm{T}\!\left\{\ \right\}$ は引数の順序に依らない）ので、$\phi_{n+1}$ が最も早い時刻をもつように番号を付け替えておく。すると

$$\mathrm{T}\!\left\{\phi_1\cdots\phi_n\phi_{n+1}\right\}=\mathrm{T}\!\left\{\phi_1\cdots\phi_n\right\}\,\phi_{n+1}$$

と、$\phi_{n+1}$ を右へ括り出せる。帰納法の仮定で $\mathrm{T}\!\left\{\phi_1\cdots\phi_n\right\}$ を「縮約の入れ方の総和」に展開し、各項に右から $\phi_{n+1}$ を掛ける。各項は ${:}\mkern2mu \text{残った場}\mkern2mu {:}\times(\text{既に取った縮約})$ の形で、$\phi_{n+1}$ が掛かるのは正規順序積の部分だから、補題が使える。補題は「$\phi_{n+1}$ を正規順序積の中へ入れる項」と「$\phi_{n+1}$ を残った場のどれか1つと縮約する項」を生む。

これで生成される項の集合を見ると、もとの $n$ 個に対する縮約の入れ方それぞれに対し、$\phi_{n+1}$ を（a）縮約しないか、（b）まだ縮約されていないどの場と縮約するか、の選択肢が付いたものになっている。これはちょうど $n+1$ 個の場に対する「あらゆる縮約の入れ方」の全体と一対一に対応する。よって $n+1$ 個でも定理が成り立つ。