真空期待値は完全縮約の和になる

場の量子論入門　第3部 第2章 §3.2.4　★★★ 実際に使うのはこの系。Feynman 図の各項がここから出る。

Wick の定理の両辺を真空で挟む。${:}\mkern2mu \ \mkern2mu {:}$ の真空期待値はゼロなので、右辺で生き残るのは場が1つも余らない項、すなわちすべての場がペアにされた完全縮約の項だけである。

例えば4点関数は

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi_1\phi_2\phi_3\phi_4\right\} | 0 \rangle =D_F(x_1-x_2)D_F(x_3-x_4)+D_F(x_1-x_3)D_F(x_2-x_4)+D_F(x_1-x_4)D_F(x_2-x_3)$$

の3項になる。自由場の理論では4点関数が2点関数の積に完全に分解する。場が奇数個のときにゼロになるのは、どの項にも正規順序積が1個以上残るためで（$\langle 0 |{:}\mkern2mu \phi_k\mkern2mu {:}| 0 \rangle =0$）、これは $\mathcal{L}$ が $\phi$ の偶数次だけを含むこと（$\phi\to-\phi$ の対称性）の反映である。粒子どうしが「何もしない」ことの数式表現で、相互作用の効果は次章で $H_I$ を展開して初めて現れる。完全縮約の総数は、$2k$ 個から1番目の場の相手を選ぶ方法が $2k-1$ 通り、残り $2k-2$ 個で同じことを繰り返すので $(2k-1)(2k-3)\cdots3\cdot1=(2k-1)!!$ である。