相互作用項の 4! は何のために置くか

場の量子論入門　第3部 第3章 §3.3.1　★★★ 結合定数の規格化。頂点因子がちょうど $-\mathrm{i}\lambda$ になるように選んである。

前章までに、相関関数の摂動展開（Dyson 級数）と、その各項を伝播関数の積へ翻訳する道具（Wick の定理）が揃った。原理的にはこれで計算できるが、実際に $\lambda$ の2次を計算しようとすると、$4+2\times4=12$ 個の場の完全縮約が $11!!=10395$ 通りも現れて手に負えない。そこで、これらの項を図で分類する。同じ図に対応する項はすべて同じ値をもつので、図を1つ描いてその重複度を数えれば済む。これが Feynman 図であり、図から式を復元する規則が Feynman 則である。

本章では規則を導き、その中で最も間違えやすい対称因子の数え方を手順として固める。

$\mathcal{L}_{\rm int}=-\dfrac{\lambda}{4!}\phi^4$ の $4!$ は、理論の中身を変えない単なる $\lambda$ の定義の取り替えである。にもかかわらずこの値を選ぶ理由は、最も単純な図の因子が $-\mathrm{i}\lambda$ ちょうどになるからである。

Dyson 級数の1次の項を4点相関関数に入れると

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\phi_1\phi_2\phi_3\phi_4\cdot\Bigl(-\mathrm{i}\frac{\lambda}{4!}\Bigr)\!\int\!\mathrm{d}^4z\,\phi_z\phi_z\phi_z\phi_z\right\} | 0 \rangle$$

となる（$\phi_i\equiv\phi_I(x_i)$、$\phi_z\equiv\phi_I(z)$）。ここで4つの外点をそれぞれ頂点 $z$ の4つの $\phi_z$ の1つと縮約する項に注目すると、割り当て方は $4!=24$ 通りあり、どれも同じ値を与える（数え上げの詳細は例題 3.1）。したがって $4!$ 個の同じ項が $1/4!$ を打ち消し、結果は

$$(-\mathrm{i}\lambda)\int\!\mathrm{d}^4z\;D_F(x_1-z)D_F(x_2-z)D_F(x_3-z)D_F(x_4-z)$$

となる。頂点1個あたりの因子が $-\mathrm{i}\lambda$ と読める形に落ちた。$\mathcal{L}_{\rm int}$ に $4!$ を置かなければ、ここに $24$ が残って以後の式に付きまとう。