運動量空間の Feynman 則

場の量子論入門　第3部 第3章 §3.3.3　★★★ 実際の計算はこちらで行う。散乱振幅は運動量の関数として測られる。

位置空間の式は各点の座標で積分が残っていて扱いにくい。伝播関数を Fourier 表示

$$D_F(x-y)=\int\!\frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4}\,\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}$$

に置き換えると、頂点の座標 $z$ はもう指数関数の肩にしか現れない。その頂点に集まる4本の線の運動量を（すべて頂点へ流れ込む向きに測って）$k_1,\dots,k_4$ とすれば、$z$ 積分は

$$\int\!\mathrm{d}^4z\;\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(k_1+k_2+k_3+k_4)\cdot z}=(2\pi)^4\delta^4(k_1+k_2+k_3+k_4)$$

というデルタ関数を生む。すなわち各頂点で運動量が保存する。これは位置空間の $\int\mathrm{d}^4z$（相互作用がどこで起きてもよい）が、運動量空間では厳密な保存則に翻訳されたものである。

デルタ関数を使って内線の運動量積分をできるだけ実行すると、$I$ 本の内線・$V$ 個の頂点の図では、全体の運動量保存を表すデルタ1個を残して $V-1$ 個のデルタが積分を消す。したがって残る独立な積分の数（ループ数）は

$$L=I-(V-1)=I-V+1$$

である。ループを含まない図（$L=0$）をtree 図、$L\ge1$ の図をループ図と呼ぶ。tree 図では積分が1つも残らず、振幅は運動量の有理式になる。

図 　$\phi^4$ 理論の基本部品。(a) 4本の線が集まる頂点、因子は $-\mathrm{i}\lambda$。(b) $O(\lambda)$ の自己エネルギー（タドポール型）。線が同じ頂点に戻るため対称因子 $S=2$ が付く。(c) $O(\lambda^2)$ の1ループ図。2つの頂点を2本の内線が結ぶので、ここでも $S=2$ が付く。