対称因子の数え上げ

(1) 縮約の総数. 頂点は1個（$V=1$）で、その4本の脚を $z^{(1)},\dots,z^{(4)}$ と区別する。外点 $x_1$ をどの脚と縮約するかが4通り、$x_2$ は残り3通り、$x_3$ は2通り、$x_4$ は1通りなので

$$N=4\times3\times2\times1=4!=24 .$$

(2) 対称因子. 定義に代入して

$$S=\frac{V!\,(4!)^V}{N}=\frac{1!\times24}{24}=1 .$$

Step 4 の検算でも、自己ループなし・平行線なし・同型な部分図なしなので $S=1$ である。外点が4つとも異なる点につながっているため、脚の付け替えは必ず別の縮約を与える。

(3) 表式. 位置空間では

$$(-\mathrm{i}\lambda)\int\!\mathrm{d}^4z\;D_F(x_1-z)\,D_F(x_2-z)\,D_F(x_3-z)\,D_F(x_4-z),$$

運動量空間で外線を殻上に置き、外線因子を 1 とすると

$$\mathrm{i}\mathcal{M}=-\mathrm{i}\lambda\qquad\text{すなわち}\qquad \mathcal{M}=-\lambda .$$

2粒子散乱の最低次の振幅が定数（角度にもエネルギーにも依らない）になった。この単純さが $\phi^4$ 理論を練習問題として使う理由であり、第5章ではこの $\mathcal{M}$ をそのまま断面積の公式に入れる。

(1) 縮約の総数. 場は $\phi(x),\phi(y)$ と頂点の4つ $\phi_z^{(1)},\dots,\phi_z^{(4)}$ の計6個で、完全縮約は全部で $5!!=15$ 通りある。このうち連結なもの、すなわち $x$ と $y$ がどちらも頂点の脚と縮約されるものを数える。$x$ の相手の脚が4通り、$y$ の相手が残り3通り、残った2本の脚どうしが縮約されて自己ループを作る（1通り）。よって

$$N=4\times3=12 .$$

（残りの $15-12=3$ 通りは、$x$ と $y$ が直接縮約され、頂点の4本が自分たちで閉じてしまう図で、これは真空泡を含む非連結図である。）この 12 という数は全列挙による計算機の数え上げでも確認してある（検算 検算スクリプト）。

(2) 対称因子. $V=1$ なので

$$S=\frac{1!\times4!}{12}=\frac{24}{12}=2 .$$

Step 4 の検算：この図には頂点から出て同じ頂点へ戻る自己ループが1本あるので、その寄与 $2$ がそのまま $S=2$ を与える。自己ループの両端を入れ替えても同じ縮約に戻ることが、$S=2$ の正体である。

(3) 運動量空間の表式. 外線の運動量を $p$ とすると、頂点で運動量が保存するのでループを回る運動量 $k$ は外線と無関係に自由である。$D_F$ を挟んだ形で書けば

$$\frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\; \Bigl[\frac{-\mathrm{i}\lambda}{2}\int\!\frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4}\,\frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\Bigr]\; \frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}$$

となる。角括弧の中が自己エネルギーの $O(\lambda)$ 寄与で、$1/2$ が対称因子である。この積分は $k$ が大きいところで $\int\mathrm{d}^4k/k^2$ のように発散する（2次発散）。発散の扱いは第6部の主題であり、この部では図の書き下しまでで止める。

縮約の総数. 頂点は2個（$V=2$）で、名前を $z_1,z_2$ とする。数え上げは次の順で行う。

1. どちらの頂点を A（$x_1,x_2$ 側）にするか：2通り。
2. $x_1$ を A の4本の脚のどれにつなぐか（4通り）、$x_2$ を残り3本のどれにつなぐか（3通り）。
3. $x_3$ を B の4本の脚のどれにつなぐか（4通り）、$x_4$ を残り3本のどれにつなぐか（3通り）。
4. A に残った2本の脚と、B に残った2本の脚を結ぶ：$2!=2$ 通り。

掛け合わせて

$$N=2\times4\times3\times4\times3\times2=576 .$$

対称因子. 定義に代入すると

$$S=\frac{V!\,(4!)^V}{N}=\frac{2!\times(24)^2}{576}=\frac{2\times576}{576}=2 .$$

Step 4 の検算：この図には「2つの頂点を結ぶ2本の平行な線」があり、その寄与は $2!=2$。自己ループも同型な部分図もないので $S=2$ で一致する。

表式. 外線の運動量を $p_1,p_2$（入射）、$p_3,p_4$（出射）とし、$s$ チャネルの運動量を $p=p_1+p_2$ とすると、この図の寄与は

$$\mathrm{i}\mathcal{M}_s=\frac{(-\mathrm{i}\lambda)^2}{2}\int\!\frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4}\, \frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\cdot\frac{\mathrm{i}}{(p-k)^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}$$

である。同じ次数には $p=p_1-p_3$（$t$ チャネル）と $p=p_1-p_4$（$u$ チャネル）の図もあり、全部を足したものが $O(\lambda^2)$ の振幅になる。チャネルの分類は第4章で扱う。