連結図と真空泡の相殺

場の量子論入門　第3部 第3章 §3.3.5　★★ Gell-Mann–Low の公式の分母が何であるかの説明。

第1章の相関関数の公式には分母 $\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\exp(-\mathrm{i}\int H_I)\right\} | 0 \rangle$ があった。この量を Wick 展開すると、外点を1つも持たない図、すなわち頂点だけが閉じた線でつながった図の和になる。これを真空泡（vacuum bubble）と呼ぶ。

分子の側にも同じ真空泡が現れる。ある図が「外点につながった部分（連結部分）」と「外点から切り離された泡」に分かれるとき、Wick の縮約はその2つの部分で独立に行われるので、寄与は両者の積になる。さらに、互いに同型な泡が $n_i$ 個あるときは、それらの入れ替え $n_i!$ 通りが同じ図を与えるので $1/n_i!$ が付く。泡の種類を $i$、1個あたりの値を $V_i$ と書けば、泡の部分の総和は

$$\sum_{\{n_i\}}\prod_i\frac{(V_i)^{n_i}}{n_i!}=\prod_i\exp(V_i)=\exp\Bigl(\sum_i V_i\Bigr)$$

と指数関数に畳める。したがって

$$\text{分子}=\Bigl(\text{連結図の和}\Bigr)\times\exp\Bigl(\sum_i V_i\Bigr),\qquad \text{分母}=\exp\Bigl(\sum_i V_i\Bigr)$$

となり、両者が相殺して

真空泡は個々には発散量である（全時空体積に比例する）。それが相関関数から完全に落ちるのは、観測されるのがエネルギーの差であって絶対値ではないことと対応している。真空のエネルギー密度そのものは、この理論の枠内では観測量として現れない（重力を含めると事情が変わり、宇宙定数問題になる）。