LSZ 簡約公式の要点

LSZ 簡約公式（主張のみ）

$n+m$ 点相関関数を各点についてFourier 変換したものを考える。入射粒子の運動量 $p_i$、出射粒子の運動量 $p_f$ を殻上（$p^2=m^2$）に近づけると、その関数は各外線ごとに1位の極をもち、

$$\begin{aligned} &\prod_i\!\int\!\mathrm{d}^4x_i\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p_i\cdot x_i}\prod_f\!\int\!\mathrm{d}^4y_f\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p_f\cdot y_f}\; \langle \Omega | \mathrm{T}\!\left\{\phi(x_1)\cdots\phi(y_1)\cdots\right\} | \Omega \rangle \\ &\qquad\underset{p^2\to m^2}{\sim}\; \Bigl(\prod_{\text{外線}}\frac{\mathrm{i}\sqrt Z}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}\Bigr)\langle f | \mathrm{i} T | i \rangle \end{aligned}$$

となる。すなわち、相関関数から外線の伝播関数をすべて取り除き（振幅を切り落とし＝amputate し）、各外線に $\sqrt Z$ を掛けたものが S 行列要素である。$Z$ は場の規格化因子（場 $\phi$ が真空から1粒子状態を作る強さ $\langle \Omega | \phi(0) | p \rangle =\sqrt Z$）で、tree レベルでは $Z=1$、ループを含めると第6部のくりこみで決まる。