Mandelstam 変数と3つのチャネル

定義を展開する。$p_i^2=m_i^2$ を使うと

$$\begin{aligned}s&=(p_1+p_2)^2=m_1^2+m_2^2+2p_1\cdot p_2,\\ t&=(p_1-p_3)^2=m_1^2+m_3^2-2p_1\cdot p_3,\\ u&=(p_1-p_4)^2=m_1^2+m_4^2-2p_1\cdot p_4 .\end{aligned}$$

辺々加えると

$$s+t+u=3m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2+2p_1\cdot(p_2-p_3-p_4).$$

ここで運動量保存 $p_1+p_2=p_3+p_4$ より $p_2-p_3-p_4=-p_1$ だから、最後の項は $-2p_1^2=-2m_1^2$ である。よって

$$s+t+u=3m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2-2m_1^2=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2 .$$

3つのうち2つを決めれば残りが決まる、というのがこの関係の実用的な意味である。

重心系では $\bm{p}_1=-\bm{p}_2$、$\bm{p}_3=-\bm{p}_4$ で、質量が等しいのでエネルギーはすべて $E=\sqrt{|\bm{p}|^2+m^2}$、出射の運動量の大きさも $|\bm{p}|$ に等しい。したがって $s=(2E,\bm{0})^2=4E^2=4(|\bm{p}|^2+m^2)$ である。$t$ は $\bm{p}_1\cdot\bm{p}_3=|\bm{p}|^2\cos\theta$ と $E^2-m^2=|\bm{p}|^2$ を使って

$$t=(p_1-p_3)^2=2m^2-2\bigl(E^2-\bm{p}_1\cdot\bm{p}_3\bigr)=-2|\bm{p}|^2(1-\cos\theta),$$

$u$ は $\bm{p}_4=-\bm{p}_3$ なので $\cos\theta\to-\cos\theta$ と置き換えて $u=-2|\bm{p}|^2(1+\cos\theta)$。和を取ると

$$s+t+u=4|\bm{p}|^2+4m^2-2|\bm{p}|^2(1-\cos\theta)-2|\bm{p}|^2(1+\cos\theta)=4m^2$$

となり、確かに $\sum m_i^2=4m^2$ に一致する。$t\le0$、$u\le0$（物理領域では運動量移行は空間的）、$s\ge4m^2$ という不等式も読み取れ、運動量移行が最大になるのは $\theta=\pi$ の $t=-4|\bm{p}|^2$ である。