規格化と、デルタ関数の2乗の始末

場の量子論入門　第3部 第5章 §3.5.1　★★ 確率が体積と時間に比例することの数式。

不変振幅 $\mathcal{M}$ が計算できても、それは直接測れる量ではない。実験が測るのは散乱断面積（単位は面積）と崩壊率（単位は時間の逆数）である。$\mathcal{M}$ からこれらへ移るには、始状態の粒子の密度と相対速度（流束）、終状態の運動量の数え上げ（位相空間）という2種類の運動学的因子を掛ける必要がある。読者が最も詰まりやすいのはここなので、因子の出どころを一つずつ示す。

遷移確率は $|\langle f | \mathrm{i} T | i \rangle |^2$ に比例するが、そこには $\bigl[(2\pi)^4\delta^4(\sum p)\bigr]^2$ が現れる。デルタ関数の2乗は発散するので、意味を与えるために系を体積 $V$、時間 $T$ の箱に入れて考える。デルタ関数の定義から

$$(2\pi)^4\delta^4(0)=\int\!\mathrm{d}^4x\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\cdot0\cdot x}=VT$$

なので

$$\bigl[(2\pi)^4\delta^4(\textstyle\sum p)\bigr]^2=VT\cdot(2\pi)^4\delta^4(\textstyle\sum p)$$

と書ける。すなわち遷移確率は時空体積に比例する。単位時間・単位体積あたりの量にすれば $VT$ は落ちる。断面積と崩壊率がどちらも「単位時間あたり」の量として定義されるのは、この事情による。

終状態の運動量の数え上げにも規格化が要る。相対論的規格化 $\langle p | q \rangle =2 E_{\bm{p}}(2\pi)^3\delta^3(\bm{p}-\bm{q})$ の下では、運動量 $\bm{p}$ のまわりの状態数は $\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{p}}$ と数えるのが正しい（状態の規格化に $2 E_{\bm{p}}$ が入っている分を割り戻す）。この測度をLorentz 不変位相空間（Lorentz invariant phase space）と呼ぶ。