位相空間の Lorentz 不変性

4次元の積分から出発する。$\mathrm{d}^4p$ は Lorentz 変換の行列式が 1 なので不変であり、$\delta(p^2-m^2)$ も $p^2$ が不変なので不変、$\theta(p^0)$ も（固有 Lorentz 変換は時間の向きを変えないので）不変である。したがって

$$\int\!\mathrm{d}^4p\;\delta(p^2-m^2)\,\theta(p^0)\,f(p)$$

は不変である。ここで $p^0$ 積分を実行する。$p^2-m^2=(p^0)^2-(|\bm{p}|^2+m^2)=(p^0- E_{\bm{p}})(p^0+ E_{\bm{p}})$（$E_{\bm{p}}=\sqrt{|\bm{p}|^2+m^2}$）なので、デルタ関数の合成則より

$$\delta(p^2-m^2)=\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}\bigl[\delta(p^0- E_{\bm{p}})+\delta(p^0+ E_{\bm{p}})\bigr]$$

であり、$\theta(p^0)$ が第2項を殺す。よって

$$\int\!\mathrm{d}^4p\;\delta(p^2-m^2)\theta(p^0)f(p)=\int\!\mathrm{d}^3p\;\frac{1}{2 E_{\bm{p}}}f( E_{\bm{p}},\bm{p}) .$$

左辺が不変だったから右辺も不変であり、$\mathrm{d}^3p/(2 E_{\bm{p}})$ が不変測度である。$(2\pi)^3$ は定数なので割っても不変性は保たれる。

補足として、$\mathrm{d}^3p$ 単独は不変ではない。ブーストすると運動量空間の体積要素は $E$ に比例して伸縮し、その伸縮をちょうど $1/2E$ が打ち消す、という構造になっている。