断面積の定義と流束

場の量子論入門　第3部 第5章 §3.5.3　★★ 面積の次元がどこから来るか。

断面積は「単位時間・単位面積あたりに入射する粒子1個に対して、単位時間あたり何回その反応が起きるか」を面積の形に直したものである。標的の周りに面積 $\sigma$ の的があると思えば、入射流束 $\Phi$（単位時間・単位面積あたりの入射粒子数）に対して反応率が $\Phi\sigma$ になる。この定義を相対論的規格化で書き下すと次の形になる。

分母の構造は次のように読む。相対論的規格化では1粒子状態が単位体積あたり $2E$ 個の粒子に対応するので、$A$ と $B$ の密度から $1/(2E_A\cdot2E_B)$ が出て、$|\bm{v}_A-\bm{v}_B|$ が2粒子の出会う頻度を与える。崩壊では静止した親粒子1個があるだけなので $1/(2m_A)$ だけが残る。

崩壊率が得られれば寿命は $\tau=1/\Gamma_{\rm tot}$（$\Gamma_{\rm tot}$ は全ての終状態についての和）で、特定の終状態への分岐比は $\Gamma_i/\Gamma_{\rm tot}$ である。注意すべき点として、$\Gamma$ は静止系での量なので Lorentz 不変ではない。運動する粒子の実験室系での崩壊率は $\Gamma_{\rm lab}=(m_A/E)\Gamma$ となり、時間の遅れの分だけ長生きする。