2体散乱の重心系公式

(1) 2体位相空間. 定義は

$$\mathrm{d}\Pi_2=\frac{\mathrm{d}^3 p_3}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{p_3}}\,\frac{\mathrm{d}^3 p_4}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{p_4}}\,(2\pi)^4\delta^4(P-p_3-p_4),\qquad P=(\sqrt s,\bm{0}).$$

まず $\bm{p}_4$ の積分を空間デルタ関数で実行すると $\bm{p}_4=-\bm{p}_3$ に固定され、

$$\mathrm{d}\Pi_2=\int\frac{\mathrm{d}^3p_3}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_3\,2E_4}\,(2\pi)\,\delta(\sqrt s-E_3-E_4) =\int\frac{|\bm{p}_f|^2\mathrm{d}|\bm{p}_f|\,\mathrm{d}\Omega}{(2\pi)^2\,4E_3E_4}\,\delta(\sqrt s-E_3-E_4)$$

となる（$|\bm{p}_f|\equiv|\bm{p}_3|$、$E_3=\sqrt{|\bm{p}_f|^2+m_3^2}$、$E_4=\sqrt{|\bm{p}_f|^2+m_4^2}$）。残るデルタ関数を $|\bm{p}_f|$ の積分で始末する。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}|\bm{p}_f|}\bigl(E_3+E_4\bigr)=\frac{|\bm{p}_f|}{E_3}+\frac{|\bm{p}_f|}{E_4}=\frac{|\bm{p}_f|\sqrt s}{E_3E_4}$$

なので、デルタ関数は因子 $E_3E_4/(|\bm{p}_f|\sqrt s)$ を与える。よって

$$\mathrm{d}\Pi_2=\frac{|\bm{p}_f|^2}{(2\pi)^2\,4E_3E_4}\cdot\frac{E_3E_4}{|\bm{p}_f|\sqrt s}\,\mathrm{d}\Omega =\frac{|\bm{p}_f|}{16\pi^2\sqrt s}\,\mathrm{d}\Omega .$$

全立体角で積分すれば $\int\mathrm{d}\Pi_2=|\bm{p}_f|/(4\pi\sqrt s)$ である。

(2) 流束因子. 重心系では $\bm{p}_1=-\bm{p}_2$、$|\bm{p}_1|=|\bm{p}_i|$ で、速度は $\bm{v}=\bm{p}/E$ だから

$$2E_12E_2|\bm{v}_1-\bm{v}_2|=4E_1E_2\Bigl(\frac{|\bm{p}_i|}{E_1}+\frac{|\bm{p}_i|}{E_2}\Bigr)=4|\bm{p}_i|(E_1+E_2)=4|\bm{p}_i|\sqrt s .$$

（2つの速度は逆向きなので大きさが足し算になる。）

(3) 微分断面積. (1)(2) を断面積の公式に入れると

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{1}{4|\bm{p}_i|\sqrt s}\cdot\frac{|\bm{p}_f|}{16\pi^2\sqrt s}\,|\mathcal{M}|^2 =\frac{|\mathcal{M}|^2}{64\pi^2 s}\frac{|\bm{p}_f|}{|\bm{p}_i|} .$$

これが2体散乱の重心系公式である。すべての質量が等しい場合は $|\bm{p}_f|=|\bm{p}_i|$ となって比が 1 になる。上の位相空間の計算と最終形は数値積分でも確認してある（検算 検算スクリプト）。

例題 3.1 で $\mathcal{M}=-\lambda$（定数）を得た。4粒子とも質量 $m$ なので $|\bm{p}_f|=|\bm{p}_i|$ であり、微分断面積は

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{|\mathcal{M}|^2}{64\pi^2s}=\frac{\lambda^2}{64\pi^2 s}$$

と、散乱角に依らない等方的な分布になる。全断面積を求めるには立体角で積分するが、終状態の2粒子が同種なので、立体角 $\Omega$ と $\Omega$ の反対側は同じ終状態を指している。二重に数えないために $1/2!$ を掛ける：

$$\sigma=\frac{1}{2}\int\!\mathrm{d}\Omega\;\frac{\lambda^2}{64\pi^2s}=\frac{1}{2}\cdot4\pi\cdot\frac{\lambda^2}{64\pi^2s} =\frac{\lambda^2}{32\pi s} .$$

$s$ が大きくなると断面積が減る。振幅が定数なので、断面積の $s$ 依存性はすべて流束と位相空間から来ている。$\lambda$ が無次元であることと、断面積が面積の次元（自然単位で質量の $-2$ 乗）をもつことも整合している。