崩壊率と、Fermi の黄金律との関係

場の量子論入門　第3部 第5章 §3.5.5　★★ 既習の黄金律が相対論版のどこに対応するか。

$1\to2$ の崩壊では、位相空間は前節の $\mathrm{d}\Pi_2$ をそのまま使えばよい。$\sqrt s=m_A$ とおき、$|\mathcal{M}|^2$ が角度に依らない場合は

$$\Gamma=\frac{1}{2m_A}\,|\mathcal{M}|^2\int\!\mathrm{d}\Pi_2=\frac{1}{2m_A}|\mathcal{M}|^2\frac{|\bm{p}|}{4\pi m_A} =\frac{|\mathcal{M}|^2\,|\bm{p}|}{8\pi m_A^2}$$

となる（終状態が同種粒子ならさらに $1/2$）。ここで $|\bm{p}|$ は静止系で出てくる娘粒子の運動量の大きさで、$m_A>m_1+m_2$ でなければ実数にならない。崩壊が起きるための条件がここに現れている。

『量子力学入門』第8部で導いた Fermi の黄金律

$$\Gamma_{i\to f}=2\pi\,|\langle f | \hat V | i \rangle |^2\,\rho(E_f)$$

と見比べる。構造は同じである。$|\langle f | \hat V | i \rangle |^2$ が $|\mathcal{M}|^2$ に、状態密度 $\rho(E_f)$ が位相空間 $\int\mathrm{d}\Pi_n$ に対応している。違いは3点ある。第一に、相対論的規格化のために $1/(2m_A)$ や $1/(2E)$ という因子が付く。第二に、終状態の数え上げが Lorentz 不変な形 $\mathrm{d}^3p/((2\pi)^32E)$ になっている。第三に、非相対論では粒子数が保存するので終状態は始状態と同じ粒子の別の運動量だったが、場の理論では粒子の種類と個数そのものが変わりうる。黄金律の「$2\pi\times$（行列要素の2乗）$\times$（終状態の密度）」という骨格は、そのまま相対論的な崩壊率の公式に持ち上がっている。