湯川相互作用

場の量子論入門　第3部 第6章 §3.6.1　★★ 物質場とスカラー場を結ぶ最も簡単な結合。

ここまでに作った機械を、物理的に最も見返りの大きい問題に使う。2つの粒子のあいだに働く力が、それらを結ぶ場の量子の交換から出てくることを示す。具体的には、質量 $m_\phi$ のスカラー粒子を交換する $t$ チャネルの図から、非相対論極限で湯川ポテンシャル $V(r)=-\frac{g^2}{4\pi}\mathrm{e}^{-m_\phi r}/r$ が導かれる。$m_\phi\to0$ で Coulomb ポテンシャルの形になり、$m_\phi\neq0$ では到達距離 $1/m_\phi$ で指数的に切れる。湯川秀樹が核力の到達距離から中間子の質量を予言したのは、この関係の逆読みである。

Dirac 場 $\psi$（核子とみなす。質量 $M$）と実スカラー場 $\phi$（中間子とみなす。質量 $m_\phi$）を

$$\mathcal{L}_{\rm int}=-g\,\bar\psi \psi\,\phi$$

で結合させる。これを湯川結合と呼ぶ。$\bar\psi \psi$ は Lorentz スカラーなので（第4部 第1章）、この結合は Lorentz 不変である。$[\psi]=3/2$、$[\phi]=1$ より $[g]=0$ で、結合定数は無次元である。Feynman 則は第3章と同じ手続きで得られ、頂点は $-\mathrm{i} g$（核子線2本とスカラー線1本が集まる）、核子の内線は $\mathrm{i}(\not p+M)/(p^2-M^2+\mathrm{i}\varepsilon)$、スカラーの内線は $\mathrm{i}/(q^2-m_\phi^2+\mathrm{i}\varepsilon)$ である。Dirac 場のスピノルの扱いは第4部の主題なので、本章では非相対論極限で必要になる次の1点だけを借りる。