$t$ チャネル交換の振幅

場の量子論入門　第3部 第6章 §3.6.2　★★ 図から式を書き、非相対論極限をとる。

核子2個の弾性散乱 $N(p_1)N(p_2)\to N(p_3)N(p_4)$ を最低次で考える。$O(g^2)$ の図は、$\phi$ を1本交換する $t$ チャネルの図と、終状態の2粒子を入れ替えた $u$ チャネルの図である（図4.1の中央と右）。いま2つの核子を区別できる粒子（例えば陽子と中性子）とみなせば $t$ チャネルだけを考えればよい。第3章の規則で書き下すと

$$\mathrm{i}\mathcal{M}=(-\mathrm{i} g)^2\,\bigl[\bar u(p_3)u(p_1)\bigr]\bigl[\bar u(p_4)u(p_2)\bigr]\,\frac{\mathrm{i}}{t-m_\phi^2}$$

である（$t=(p_1-p_3)^2$）。非相対論極限では運動量移行が空間的で $t\simeq-|\bm{q}|^2$（$\bm{q}=\bm{p}_1-\bm{p}_3$）、双一次形式は $2M$ になるので

$$\mathrm{i}\mathcal{M}\;\longrightarrow\;(-\mathrm{i} g)^2(2M_1)(2M_2)\frac{\mathrm{i}}{-|\bm{q}|^2-m_\phi^2} =\mathrm{i}\,\frac{g^2\,(2M_1)(2M_2)}{|\bm{q}|^2+m_\phi^2},$$

すなわち

$$\mathcal{M}=\frac{g^2\,(2M_1)(2M_2)}{|\bm{q}|^2+m_\phi^2} .$$

符号に注意する。$(-\mathrm{i} g)^2=-g^2$ と、伝播関数の分母が負であることの2つの負号が打ち消し合って、$\mathcal{M}$ は正になった。この符号が最終的にポテンシャルの符号（引力か斥力か）を決める。