湯川ポテンシャルと到達距離

到達距離 $R$ と交換粒子の質量 $m$ の関係は $R=\hbar/(mc)$、すなわち $mc^2=\hbar c/R$ である。$\hbar c=0.1973\,$GeV$\cdot$fm を使うと

$$mc^2=\frac{0.1973\ \text{GeV}\cdot\text{fm}}{1.4\ \text{fm}}\simeq0.14\ \text{GeV}=140\ \text{MeV}.$$

逆に $m_\pi c^2=140\,$MeV を入れると

$$R=\frac{0.1973}{0.140}\ \text{fm}=1.41\ \text{fm}$$

となる。湯川が1935年に核力の到達距離から予言した中間子の質量は電子質量の200倍程度で、実際に発見された $\pi$ 中間子（$m_\pi\simeq140\,$MeV、電子質量の約274倍）とこの桁で一致した。

この一致が示すのは「核力＝$\pi$ 中間子の1回交換」という描像が長距離部分で正しいことまでである。$1\,$fm より近距離では多重交換や核子の内部構造が現れ、現代的には核力は QCD の低エネルギー有効理論として理解される（第6部 第6章）。

自然単位（Heaviside–Lorentz 単位系）で、電荷 $e$ をもつ2粒子の Coulomb ポテンシャルは

$$V_{\rm Coulomb}(r)=\frac{e^2}{4\pi r}=\frac{\alpha}{r},\qquad \alpha=\frac{e^2}{4\pi}=\frac{1}{137.036}$$

である（同符号の電荷どうしは斥力なので正）。一方、質量ゼロのスカラー交換は $V(r)=-g^2/(4\pi r)$ で、$g^2/4\pi$ が $\alpha$ に対応する無次元の結合の強さである。

関数形は同じ $1/r$ で、違いは符号にある。スカラー粒子の交換は同種粒子のあいだで必ず引力になるのに対し、光子（スピン1のベクトル粒子）の交換は同符号の電荷どうしで斥力になる。この違いは交換粒子のスピンから来る。伝播関数の分子がスカラーでは 1、ベクトルでは $-\eta_{\mu\nu}$ となり、その符号が振幅の全体符号を反転させる（第5部 第3章で頂点と伝播関数を明示して確認する）。一般に偶数スピンの交換は同種の荷に対して引力、奇数スピンの交換は斥力で、重力（スピン2の交換）がすべての質量のあいだで引力であることもこの規則の一例である。もう一つの違いは到達距離で、光子は質量ゼロなので電磁力は無限遠まで届く。到達距離を決めるのは結合の強さではなく交換粒子の質量である。