「力＝粒子の交換」という描像の意味と限界

場の量子論入門　第3部 第6章 §3.6.5　★ どこまでが計算の帰結で、どこからが言葉の綾か。

前節までの計算は、「力は粒子の交換で生じる」という標語に具体的な意味を与えている。内容は3点である。2粒子の散乱振幅の $O(g^2)$ の寄与は $\phi$ の伝播関数を1本含む項であること、その項を非相対論極限で見ると Born 近似でポテンシャル $V(r)$ による散乱を計算したのと同じ式になること、そして $V(r)$ の到達距離・符号・強さが交換粒子の質量・スピン・結合定数で決まることである。以上が計算から言えることのすべてである。

一方、標語を字義どおりに読むと誤解が生じる。交換される粒子は殻外（off-shell）にある。$t$ チャネルの内線は $t<0$ なので $t\neq m_\phi^2$ であり、実在の粒子が満たすべきエネルギーと運動量の関係を満たしていない。したがってそれを検出することはできず、「核子から中間子が飛び出して相手に届いた」という時間的な物語は計算のどこにも対応物をもたない。内線は Wick の縮約から出た伝播関数であって、時空の中を飛ぶ物体ではない。「不確定性関係でエネルギーを借りて粒子を放出する」という説明も、$\Delta E\Delta t\gtrsim1$ を等式のように使う点で粗く、上の計算のどの段階にも対応しない。

ポテンシャルという概念自体にも限界がある。$V(r)$ が意味をもつのは非相対論極限、すなわち粒子が遅く、粒子数が変わらず、相互作用が瞬間的に伝わるとみなせる場合に限られる。相対論的な散乱では粒子の生成消滅が起き、相互作用の伝播に時間がかかるので、「ある時刻における2粒子の位置の関数」という形の相互作用は書けない。さらに $O(g^4)$ 以上の多重交換を加えると1回交換の湯川ポテンシャルからずれる（2回交換は到達距離 $1/(2m_\phi)$ の寄与を与える）。核力の記述で $\pi$ の1回交換が長距離部分にしか使えないのは、この事情による。